Proszę o pomoc w rozwiązaniu takich dwóch przykładów, są oznaczone jako trudniejsze i niestety przerosły mnie. Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych:
a) \( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2^n(n!)^2}{(2n)!} z^{2n}\)
b) \( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n!}{(n+i)^n}z^n\)
znaleźć promienie i koła zbieżności szeregów potęgowych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
paskulina7
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 05 lis 2016, 12:06
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: znaleźć promienie i koła zbieżności szeregów potęgowych
W a) wystarczy wyliczyć granicę ciągu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\), uważaj przy upraszczaniu silni. To jest jedyna trudność.
Ciekawsze jest zadanie b). Trzeba bowiem wyliczyć granicę ciągu modułów ilorazów. To wymaga kartki.
No to mam. Przede wszystkim \(|n+i|=\sqrt{n^2+1}.\) Oznaczamy \(a_n=\frac{n!}{(n+i)^n}\), skąd \[|a_n|=\frac{n!}{\left(\sqrt{n^2+1)}\right)^n}.\]Dalej\[\begin{multline}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)!}{\sqrt{\bigl((n+1)^2+1\bigr)^{n+1}}}\cdot\frac{\sqrt{(n^2+1)^n}}{n!}=\\=(n+1)\sqrt{\frac{(n^2+1)^n}{(n^2+2n+2)^{n+1}}}=\frac{n+1}{\sqrt{n^2+2n+2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}\right)^n}\end{multline}\]Pierwszy czynnik zmierza do jedynki - łatwe. Kwestia gdzie zmierza ciąg pod pierwiastkiem, czyli ile wynosi\[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}\right)^n?\]Spróbuj ją policzyć. Obliczenia będa paskudne. Ale można też uciec się do reguły de L'Hospitala. Jak, jeśli nie różniczkuje się ciągów? Otóż jeśli \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\), to \(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)=a\) (tu \(x\in\rr\), ale \(n\in\nn\)).
Wolfram Alpha mówi, że ta granica wynosi \(\frac{1}{e^2}\). Tak więc\[\frac{1}{R}=\frac{1}{e^2},\] czyli \(R=e^2\).
Ciekawsze jest zadanie b). Trzeba bowiem wyliczyć granicę ciągu modułów ilorazów. To wymaga kartki.
No to mam. Przede wszystkim \(|n+i|=\sqrt{n^2+1}.\) Oznaczamy \(a_n=\frac{n!}{(n+i)^n}\), skąd \[|a_n|=\frac{n!}{\left(\sqrt{n^2+1)}\right)^n}.\]Dalej\[\begin{multline}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)!}{\sqrt{\bigl((n+1)^2+1\bigr)^{n+1}}}\cdot\frac{\sqrt{(n^2+1)^n}}{n!}=\\=(n+1)\sqrt{\frac{(n^2+1)^n}{(n^2+2n+2)^{n+1}}}=\frac{n+1}{\sqrt{n^2+2n+2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}\right)^n}\end{multline}\]Pierwszy czynnik zmierza do jedynki - łatwe. Kwestia gdzie zmierza ciąg pod pierwiastkiem, czyli ile wynosi\[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}\right)^n?\]Spróbuj ją policzyć. Obliczenia będa paskudne. Ale można też uciec się do reguły de L'Hospitala. Jak, jeśli nie różniczkuje się ciągów? Otóż jeśli \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\), to \(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)=a\) (tu \(x\in\rr\), ale \(n\in\nn\)).
Wolfram Alpha mówi, że ta granica wynosi \(\frac{1}{e^2}\). Tak więc\[\frac{1}{R}=\frac{1}{e^2},\] czyli \(R=e^2\).