forum.zadania.info

Wykazać, że linia łącząca punkty środkowe dwóch nierównoległych boków trapezu \(A(1,5) , B(4,7), C(7,3)\) i \(D(1,-1)\) jest równoległa do równoległych boków i równy połowie długości sumy równoległych boków.

Szczerze, w ogóle tego nie rozumiem i nawet nie wiem, od czego zacząć, ani której z moich wielu formuł z tej jednostki użyć. Czy ktoś może mnie poprowadzić?

Wpierw zaznacz punkty w układzie współrzędnych, a zobaczysz iż podstawy trapezu to AB i DC.
Potrzebne wzorki:
Współrzędne środka odcinka PQ to \(\left( \frac{x_P+x_Q}{2}, \frac{y_P+y_Q}{2} \right) \) , a długość tego odcinka to \(\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2} \)

kerajs pisze: ↑10 sty 2022, 10:16 Wpierw zaznacz punkty w układzie współrzędnych, a zobaczysz iż podstawy trapezu to AB i DC.

i ogólnie:
Niech \(P,\ Q\) będą środkami boków \(\overline{AD},\ \overline {BC}\). Wtedy
\[+\underline{\begin{cases}
\vec{PQ}+\vec{QC}+\vec{CD}+\vec{DP}=\vec{0}\\
\vec{PQ}+\vec{QB}+\vec{BA}+\vec{AP}=\vec{0}\end{cases}}\\
2\cdot\vec{PQ}+\vec{0}+\big(\vec{BA}+\vec{CD}\big)+\vec{0}=\vec{0}\\
\vec{PQ}=-{1\over2}\big(\vec{BA}+\vec{CD}\big)={1\over2}\big(\vec{AB}+\vec{DC}\big)\]
Zatem
\[\begin{cases}\vec{PQ}\parallel\big(\vec{AB}+\vec{DC}\big)\parallel\vec{AB}\parallel\vec{DC}\\
|\vec{PQ}|={1\over2}\cdot|\vec{AB}+\vec{DC}|={1\over2}\cdot\left(|\vec{AB}|+|\vec{DC}|\right)
\end{cases}\]
co kończy wektorowy dowód tw. o linii średniej trapezu

Pozdrawiam