forum.zadania.info

Wyznacz rozkład zmiennej losowej \(Y= \cos \pi X\) ,jeżeli zmienna losowa \(X\) ma rozkład geometryczny opisany wzorem \(P(X = n) =\frac{1}{3^n}\) dla n=1,2....
Oblicz wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe, medianę oraz modę zmiennej losowej \(Y\)

Coś masz nie tak, bo\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}.\]Prawdopodobieństwa nie sumują się do jedynki.

Jeśli \(X=1,2,\dots,\), to \(Y=\cos\pi X\in\{-1,1\}.\) Przy tym \(Y=-1\), jeśli \(X\) jest liczbą nieparzystą, zaś dla \(X\) parzystego mamy \(Y=1.\) Jeśli więc porządnie podasz postać rozkładu zmiennej losowej \(X\), to wystarczy zsumować jeden z szeregów, np. po \(n\) parzystych, wtedy dostaniemy \(P(Y=1)\). Drugie prawdopodobieństwo będzie różnicą do jedynki. Tak więc ta zmienna losowa ma rozkład dwupunktowy.

Właśnie takie było polecenie i nie za bardzo wiem jak to zadanie rozwiązać mi wyszło dla -1 dla \( \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{3^{2n-1} } \)(liczby nieparzyste) prawdopodobieństwo wynosi \( \frac{3}{8} \), a dla \( \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{3^{2n} } \) dla liczb parzystych \( \frac{1}{8} \)

Musi więc być \[P(X=n)=\frac{2}{3^n}.\] Teraz\[P(Y=1)=\sum_{n=1}^{\infty}P(X=2n)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{9^n}=\frac{\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{4}.\]Zatem\[P(Y=-1)=\frac{3}{4}\] i gotowe.

W obliczaniu sumy po liczbach parzystych korzystałem z tego, że mają one postać \(2n\), gdzie \(n=1,2,3,\dots\).

Musiałeś źle przepisać dane zadania z tymi prawdopodobieństwami. Wystarczyło lekko poprawić te liczby dzieląc przez \(\frac{1}{2}\), czyli mnożąc przez \(2\). No to z resztą sobie chyba poradzisz... \(EY=-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\), \(D^2 Y=E(Y^2)-(EY)^2=\frac{3}{4}\), modą jest \(-1\), bo dla \(Y=-1\) mamy największe prawdopodobieństwo, a medianą jest też \(-1\).

Dziękuję dalej sobie poradzę