forum.zadania.info

Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając \(2000\) razy niesymetryczną monetą, dla której szansa wypadnięcia orła wynosi \(0.75\), liczba uzyskanych orłów jest zawarta między \(1465\) a \(1535\).

Schemat Bernoulliego przy sukcesie 0,75mówi ci to coś

korki_fizyka pisze: ↑04 sty 2022, 19:16 Schemat Bernoulliego przy sukcesie 0,75mówi ci to coś

Właśnie to nie jest takie proste. W teorii wygląda tak jak piszesz. W praktyce rozkład dwumianowy przybliża się rozkładem normalnym. Wywołałeś mnie do tablicy i teraz będę to musiał zrobić.

Rozkład dwumianowy z \(n\) próbami i prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie \(p\) ma wartość oczekiwaną \(m=np\) oraz odchylenie standardowe \(\sigma=\sqrt{np(1-p).}\) Dla dużych \(n\) przybliżamy go rozkładem normalnym \(N(m,\sigma)\). U nas \(n=2000\) oraz \(p=0.75\). Dlatego \(m=2000\cdot 0.75=1500\) oraz \(\sigma=\sqrt{2000\cdot 0.75\cdot 0.25}=\sqrt{375}.\) Tak więc przybliżamy sprawę rozkładem normalnym \(N(1500,\sqrt{375}).\)

Teraz mamy do wyboru trzy możliwości:

1. Na kartce z użyciem standaryzacji i tablic standardowego rozkładu normalnego \(N(0,1)\). Ten sposób jest stosowany najczęściej. Jest pouczający, ale też stosuje się go zbyt często, bo większości wykładowców nie chce się opanować choćby jednego programu komputerowego. Wystarczy się go nauczyć, zrobić kilka przykładów, a resztę robić na komputerze.
2. W arkuszu kalkulacyjnym bez standaryzacji.
3. W innym programie, też bez standaryzacji.

Zastosuję program R i metodę 3. Standaryzację sobie ogarniesz, bo to wymaga trochę tłumaczenia.

Niech zmienna \(X\) ma rozkład \(N(1500,\sqrt{375}).\) Niech \(F\) będzie dystrybuantą tego rozkładu. Wtedy\[P(1465\leqslant X\leqslant 1535)=F(1535)-F(1465).\]

Teraz czas na R.
Tak więc szukane prawdopodobieństwo szacujemy przez\[P(1465\leqslant X\leqslant 1535)=0.9293.\]

A teraz napiszę program liczący sprawę wg schematu Bernoulliego. Na kartce nie do wykonania. Zobaczymy jaki da wynik. Trzeba po prostu posumować prawdopodobieństwa odpowiedniej liczby sukcesów.

No i tu trafia kosa na kamień. Dla tak dużych liczb komputer nie potrafi policzyć współczynników dwumianowych. Trzeba by na nie osobnej procedury.

Sprawdziłem to. Nawet moja procedura oparta na wzorze nie wymagającym liczenia silni, czyli\[\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{1}\cdot\frac{n-k+2}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{k}\]zawodzi i daje wartości nieskończone, bo komputer nie radzi sobie z obliczeniami.

korki_fizyka, czy wiesz już, dlaczego w tym przypadku rozkład dwumianowy przybliża się normalnym?

Niestety nie, choć jeszcze kilka lat temu próbowałem tego kogoś sam nauczyć ale jak widać "narząd nieużywany zanika". Dość tajemniczy jest ten "program R", muszę o tym poczytać , najważniejsze czy Term123 to już wie Żałuję tylko, że u nas w szkole średniej nie ma tych zagadnień w przeciwieństwie do np. Wlk. Brytanii czy Szwecji.

PS.1 nikogo nie wywoływałem do tablicy, jedyne co chciałem uzyskać, to zaprezentowanie jakiegokolwiek śladu pracy własnej autora, poza wklejeniem treści zadania.

PS.2 na liczenie w przybliżeniu silni z dużych liczb jest wzór Stirlinga.

Niestety nie, choć jeszcze kilka lat temu próbowałem tego kogoś sam nauczyć ale jak widać "narząd nieużywany zanika". Dość tajemniczy jest ten "program R", muszę o tym poczytać , najważniejsze czy Term123 to już wie Żałuję tylko, że u nas w szkole średniej nie ma tych zagadnień w przeciwieństwie do np. Wlk. Brytanii czy Szwecji.

Myślę, że jednak doskonale teraz zdajesz sobie sprawę, dlaczego. Pisałem też, że można to zrobić w arkuszu kalkulacyjnym. R jest bardzo wygodny, stosuję go jakieś 15 lat. Po prostu zrobiłem to dla wygody własnej. Również w kwestii nie podawania gotowca, bo zapewne wykładowca wymaga wyliczenia tego na kartce w oparciu o standaryzację. Bardziej chodziło mi o podanie odpowiedzi do późniejszej weryfikacji obliczeń własnych.

Również żałuję, że tego nie ma w szkole. Na swoich zajęciach dla studentów wykorzystuję program R notorycznie ucząc go młodych ludzi. I mam tu dobre efekty. Niektórzy naprawdę perfekcyjnie opanowują jego użycie.

PS nikogo nie wywoływałem do tablicy, jedyne co chciałem uzyskać, to zaprezentowanie jakiegokolwiek śladu pracy własnej autora, poza wklejeniem treści zadania.

To napisałem w kategorii żartu.

PS.2 na liczenie w przybliżeniu silni z dużych liczb jest wzór Stirlinga.

Tego wzoru nie znałem nawet na studiach matematycznych. Poznałem go jako młody asystent, bo nauczyli go mnie koledzy-wykładowcy. Ale tu też mamy kategorię przybliżeń i chodzi tylko o zastąpienie jednego drugim. Więc wolę to, które jest w temacie, czyli CTG - Centralne Twierdzenie Graniczne, albowiem to właśnie z niego mamy opisaną przeze mnie możliwość.