Strona 1 z 1
Warunkowa wartość oczekiwana
: 21 gru 2021, 12:44
autor: A731ox
Proszę o pomoc z tym zadaniem.
Ze zbioru \(\{1,\ 2,\ ...,\ 10\}\) losujemy, bez zwracania, dwie liczby. Niech \(X\) będzie mniejszą, a \(Y\) większą z tych dwóch wartości. Oblicz \(E(X|Y)\) oraz \(E(XY + X|X)\).
Re: Warunkowa wartość oczekiwana
: 21 gru 2021, 16:46
autor: Tmkk
W związku z tym, że \(Y\) jest zmienną dyskretną, to sigma ciało generowane przez nią jest tak naprawdę generowane przez zbiory postaci \(A_k = \lbrace \omega: Y(\omega) = k \rbrace\), dla \(k=1,2,3,\ldots ,10\). Więc tutaj jest wzorek, który właśnie takie rozbicie omegi uwzględnia:
\(\mathbb{E}(X | Y) = \sum_{k=1}^{10} \mathbb{E}(X | Y =k)\cdot 1_{Y = k}\).
A te wartości oczekiwane pod sumą to już się łatwo liczy - tak jakbyś normalnie liczyła wartość oczekiwaną (czyli znajdujesz rozkład zmiennej \(X | Y = k\) i podstawiasz do wzoru na wartość oczekiwaną).
Jeśli chodzi o drugi podpunkt, to należy najpierw skorzystać z faktu, że \(X\) jest mierzalne względem sigma ciała generowanego przez \(X\), więc tu sporo można uprościć i będzie do policzenia bardzo podobna rzecz jak w pierwszym podpunkcie.