forum.zadania.info

W zbiorze par liczb określamy działania \(a\oplus b\) i \(a \otimes b\) w następujący sposób:
\((a, b)\oplus (c, d) = (a+c, b+d), (a, b)\otimes (c, d) = (ac+2bd, ad+bc).\)
Wykazać, ze struktura \((\qq^2, \oplus, \otimes )\) jest ciałem.
Mam już udowodnione, że jest pierścieniem, ale utknąłem przy wyznaczaniu jedności - elementu neutralnego drugiego działania.
\( (a, b)\otimes (e_1, e_2) = (a,b)\\\) Wydawałoby się, że to para (1,0), ale z układu równań
\(
\begin{cases}
ae_1+2be_2=a\\
ae_2+be_1=b \end{cases} \) wychodzi, że \(a= \frac{2be_2}{1-e_1} \), więc musi być \(e_1 \neq 1\). Co jest nie tak?

Wszystko OK. Para \((1,0)\) spełnia warunki elementu neutralnego mnożenia. Sprawdź to. Ja wziąłem \((a,b)=(1,1)\) i w ten sposób wyznaczyłem \(e_1=1,\) \(e_2=0\). Teraz tylko kwestia podstawienia do tego układu równań - wszystko pasuje.

Haczyk jest taki, że ten układ równań ma zachodzić dla każdej pary \((a,b)\). Trzeba tak dobrać współczynniki \(e_1,e_2\), żeby zachodził. Tak więc przerzucenie kierunku na \(e_1,e_2\) przy \(a=b=1\) pozwoliło je zdeterminować.