forum.zadania.info

Mam problem z granicą e

\( \Lim_{x\to 0} (1+5x)^{2/x^2}\)

_Dawid_ pisze: ↑17 gru 2021, 20:34 Mam problem z granicą e

\( \Lim_{x\to 0} (1+5x)^{2/x^2}\)

Niech \(x= \frac{1}{n} \). Wtedy \( \frac{1}{x}=n \text{ oraz } n \to \infty \So x \to 0\)

Teraz \( \Lim_{x\to 0} (1+5x)^{2/x^2}= \Lim_{n\to \infty }(1+ \frac{5}{n})^{2n^2} = \Lim_{n\to\infty } \left(1+ \frac{1}{ \frac{n}{5} } \right)^{ \frac{n}{5} \cdot 10n } = \Lim_{n\to\infty }e^{10n}=+\infty \)

Moim zdaniem to trochę jest tutaj nieprawidłowo, bo gdy chcę zrobić to tak jak prostą granicę eulera to mam dwa przypadki:
że granica jest właśnie + nieskończoność oraz 0?

Co się dzieje z wartościami jak zbliżamy się do zera?
Sam sobie możesz "zrobić' Taki obrazek i się przekonać, że to trochę tam jest OK.

Czyli granica dąży tylko do +nsk? Ja u siebie nie zmieniałem "x" na "n" i wyszło mi w potędze 10x/x^2 i rozbiłem to na granice dwustronne?
Zatem rozumiem że istnieje tylko granica prawostronna, lewostronnej nie ma?

Masz rację. Jeśli x->0 z lewej strony, to granica jest równa zero.
Podsumowując granica w zerze nie istnieje (bo lewostronna nie jest równa prawostronnej).

Dzięki za pomoc!

_Dawid_ pisze: ↑17 gru 2021, 21:47 Moim zdaniem to trochę jest tutaj nieprawidłowo, bo gdy chcę zrobić to tak jak prostą granicę eulera to mam dwa przypadki:
że granica jest właśnie + nieskończoność oraz 0?

Tak to wygląda z lewej i z prawej strony.

korki_fizyka pisze: ↑18 gru 2021, 14:17 Tak to wygląda z lewej i z prawej strony.

A skąd ten rysunek?
Wg wolframa: a jemu chyba wszyscy ufamy...

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑18 gru 2021, 15:28 a jemu chyba wszyscy ufamy...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=m ... B+1%29%2Fx
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... B+1%29%2Fx

Jerry pisze: ↑18 gru 2021, 15:28

korki_fizyka pisze: ↑18 gru 2021, 14:17 Tak to wygląda z lewej i z prawej strony.

A skąd ten rysunek?
Wg wolframa:
limit.png
a jemu chyba wszyscy ufamy...

Pozdrawiam

Wpisałem w Google funkcję \( f(x)=(1+x^2)^{2x^{-2}}\), której wykres przedstawił panb kilka postów temu.

korki_fizyka pisze: ↑18 gru 2021, 14:17

_Dawid_ pisze: ↑17 gru 2021, 21:47 Moim zdaniem to trochę jest tutaj nieprawidłowo, bo gdy chcę zrobić to tak jak prostą granicę eulera to mam dwa przypadki:
że granica jest właśnie + nieskończoność oraz 0?

Tak to wygląda z lewej i z prawej strony.

Tak też myślę, że lewostronna granica z tej funkcji dąży do zera oraz prawostronna do nieskończoności i tak mi wychodzi