Niech \(F : \rr^3 → \rr^3, F(x, y, z) = (x+ 2y−z, y−4z, x+ 5y)\). Zapisz macierz odwzorowania.
Wyznacz jądro i obraz tego odwzorowania. Zbadaj, czy \(F\) jest różnowartościowe i „na”.
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku, jak rozwiązać to zadanie?
Z góry dziękuję!
Macierz odwzorowania, jądro i obraz
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Macierz odwzorowania, jądro i obraz
Najpierw macierz. To proste. Przepisujesz współczynniki przy x, y i z tylko ... kolumnami.WiktorG pisze: ↑13 gru 2021, 16:41 Niech \(F : \rr^3 → \rr^3, F(x, y, z) = (x+ 2y−z, y−4z, x+ 5y)\). Zapisz macierz odwzorowania.
Wyznacz jądro i obraz tego odwzorowania. Zbadaj, czy \(F\) jest różnowartościowe i „na”.
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku, jak rozwiązać to zadanie?
Z góry dziękuję!
W takim razie macierz \[F= \begin{bmatrix} 1&2&-1\\0&1&-4\\1&5&0\end{bmatrix} \]
Łatwo sprawdzić, że \(F(x,y,z)= \begin{bmatrix} 1&2&-1\\0&1&-4\\1&5&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)
Re: Macierz odwzorowania, jądro i obraz
Z macierzą sobie poradziłem, bardziej potrzebuje pomocy z jądrem i obrazem.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Macierz odwzorowania, jądro i obraz
Jądrem przekształcenia F jest zbiór \(\{(x,y,z): F(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Żeby je znaleźć trzeba rozwiązać układ równań \( \begin{cases} x+2y-z=0\\y-4z=0\\x+5y=0\end{cases} \).
Ma on zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie (0,0,0), a w tym przypadku jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Oznacza to, że \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)
Żeby je znaleźć trzeba rozwiązać układ równań \( \begin{cases} x+2y-z=0\\y-4z=0\\x+5y=0\end{cases} \).
Ma on zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie (0,0,0), a w tym przypadku jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Oznacza to, że \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Macierz odwzorowania, jądro i obraz
Obraz, w przypadku, gdy jądro jest jednoelementowe, jest łatwo znaleźć.
\((x+2y-z,y-4z,x+5y)=x(1,0,1)+y(2,1,5)+z(-1,-4,0)=x(1,0,1)+y(2,1,5)-z(1,4,0)\).
\(Im F=lin\{(1,0,1),(2,1,5),(1,4,0)\}\)
Uwaga. Jeśli jądro nie jest jednoelementowe, tutaj jest fajna metoda wyznaczania jądra i obrazu
\((x+2y-z,y-4z,x+5y)=x(1,0,1)+y(2,1,5)+z(-1,-4,0)=x(1,0,1)+y(2,1,5)-z(1,4,0)\).
\(Im F=lin\{(1,0,1),(2,1,5),(1,4,0)\}\)
Uwaga. Jeśli jądro nie jest jednoelementowe, tutaj jest fajna metoda wyznaczania jądra i obrazu
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Macierz odwzorowania, jądro i obraz
No i ostatnia rzecz.
Odwzorowanie K jest różnowartościowe, bo \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)
Jest też "na", bo \(dimF=dim(Im F)\)
Odwzorowanie K jest różnowartościowe, bo \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)
Jest też "na", bo \(dimF=dim(Im F)\)