Dowód

[Januszgolenia]

Wykaż, że jeśli ciąg (\(a_n\)) jest ciągiem geometrycznym oraz \(a_1-a_4<a_3-a_2\) , to \(a_1<a_2\).

[grdv10]

Mamy z założenia \[a_1-a_1q^3<a_1q^2-a_1q,\]czyli\[a_1(q^3+q^2-q-1)>0,\]a zatem\[a_1(q+1)^2(q-1)>0.\]W szczególności \(q\ne -1\) (inaczej powyżej mielibyśmy zero) więc\[a_1(q-1)>0.\]Oznacza to, że \[a_1q>a_1,\]czyli \[a_2>a_1,\]co należało wykazać.