forum.zadania.info

Witam, czy ma ktoś pomysł jak zrobić to zadanie?
Niestety moje myślenie sprowadza się cały czas do odpowiedzi, że \(x = 0\), więc coś robię ni tak.

Ostrosłupy, których podstawą są prostokąty o stosunku długości boków \(1:2\), umieszczamy w kuli
o promieniu \(\sqrt3\) w taki sposób, że wierzchołek każdego ostrosłupa jest środkiem kuli,
a wszystkie wierzchołki podstawy należą do powierzchni kuli. Jaką maksymalną objętość może mieć
tak umieszczony w kuli ostrosłup?

Zrób schludny rysunek!
Niech krawędzie podstawy mają długości \(2x,4x\) gdzie \(x>0\). Wtedy przekątna podstawy ma długość \(2\sqrt5x\) i z trójkąta prostokątnego o bokach połowa przekątnej podstawy, wysokość \(h\) ostrosłupa i krawędzi bocznej długości promienia kuli \(\sqrt3\) mamy
\(h=\sqrt{\sqrt3^2-(\sqrt5x)^2}=\sqrt{3-5x^2}\wedge x<{\sqrt{15}\over5}\)
oraz
\(V_O={1\over3}\cdot2x\cdot4x\cdot\sqrt{3-5x^2}={8\over3}\sqrt{3x^4-5x^6}\)
Wystarczy teraz wskazać największą wartość funkcji
\(y=f(x)=3x^4-5x^6\wedge D=\left(0;{\sqrt{15}\over5}\right)\)
czyli pochodna, WKIE, WDIE,... oraz odpowiedź

Pozdrawiam

PS.

Maksymalna objętość jest dla \(x={\sqrt{10}\over5}\)