forum.zadania.info

\( f(x) = |x − 1|^3 *|x − 2| \)

Nie wiem w jaki sposób mam podejść do tego zadania. Po prostu obliczyć pochodną skoro dziedzina to R ?
Jeśli tak to w jaki sposób obliczyć pochodną z modułu?

O pochodnej modułu

Pozdrawiam

Wykres danej funkcji z którego wynika nieróżniczkowalność w \(x=2\)

Pozdrawiam

Dziś mam więcej czasu, więc...
\( f(x) = |x − 1|^3 \cdot|x − 2| = \begin{cases} (x-1)^3(x-2) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2;+\infty)\\ -(x-1)^3(x-2) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

\( f'(x) = \begin{cases} 4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Dana funkcja, na mocy znanych faktów, jest ciągła i różniczkowalna we wnętrzach przedziałów określoności, łatwo sprawdzić, że jest ciągła w \(x_1=1\) oraz \(x_2=2\), pozostaje sprawdzić w nich różniczkowalność:

\(\Lim_{x\to1^-}f'(x)=0=\Lim_{x\to1^+}f'(x)\)
czyli \(f'(1)=0\)

\(\Lim_{x\to2^-}f'(x)=-1\ne1=\Lim_{x\to2^+}f'(x)\)
czyli \(f'(2)\) nie istnieje

Pozdrawiam

Dziękuję bardzo Jerry!
Takiego właśnie wytłumaczenia potrzebowałem.

Pozdrawiam

Tutaj mamy chyba błąd w rozwiązaniu dla \( x\in(1;2) \)

\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Powinno wyjść:
\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(4x-7) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ (x-1)^2(-2x+5) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

SHOO pisze: ↑09 gru 2021, 16:48 Tutaj mamy chyba błąd w rozwiązaniu dla \( x\in(1;2) \)

\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Powinno wyjść:
\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(4x-7) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ (x-1)^2(-2x+5) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

wynik Jerry'ego jest poprawny

Zgadza się. Właśnie pisałem, że to błąd u mnie.
Dziękuję bardzo.