forum.zadania.info

Dzień Dobry

Mam problem z tą indukcją matematyczną:
\(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\)

Bo jak robiłem indukcję matematyczne gdzie po jednej ze stron nierówności była tylko jedna liczba to było proste np
\(2n+1<2^n\)
Mamy tezę:
\(2(n+1)+1<2^{n+1}\)
ale jak pomnożymy z założenia \(2n+1<2^n\) przez 2 dwie strony to uzyskujemy \(4n+2<2^{n+1}\)
I resztę dowodu robimy na nierówności \(4n+2>2(n+1)+1\)

ale w tej nierówności \(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\) nie widzę przez co mam pomnożyć tezę aby otrzymać po któreś ze stron to samo co w dowodzie tej tezy \((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}\ge (k+1)^2+k+1-2\)

Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...

Ja też grubo szacowałem, a idzie to tak:

• \((k+1)^22^{k+1}=2 \left[ (k+1)^22^k\right]=(k+1)^22^k+ (k+1)^22^k\ge k^22^k+2(k+1)\ge k^2+k-2+2k+2=\\ =(k^2+2k+1)+k+1-2=(k+1)^2+(k+1)-2\)

a to jest teza.

Jerry pisze: ↑06 gru 2021, 00:21 Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...

To już wydaje się się bardziej logiczne aby przenieś po prostu z tezy wszystko na jedną stronę

A mam jeszcze jedno pytanie jak zrobić? \(4^n+3 \ge n^2\)

smp pisze: ↑14 gru 2021, 23:58 A mam jeszcze jedno pytanie jak zrobić? \(4^n+3 \ge n^2\)

I po "mojemu":
\(L_T=4^{n+1}-(n+1)^2+3=2\cdot4^n+2(4^n-n^2+3)+(n-1)^2-5\ge 2\cdot4+0+0-5=3\ge0=P_T\)

Pozdrawiam

panb pisze: ↑15 gru 2021, 00:13 \(4^{n+1}+3=4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3=(n^2+2n+1)+3n^2-2n+2=(n+1)^2+3 \left(n- \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{5}{3} \ge (n+1)^2\)

A skąd wziąłeś te +3?

chodzi mi o ten fragment \(4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3\) po prawej stronie dodanie tego +3

smp pisze: ↑15 gru 2021, 14:21 chodzi mi o ten fragment \(4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3\) po prawej stronie dodanie tego +3

To jest pomyłka. Tutaj jest poprawne oszacowanie (znowu bardzo grube: \(2\cdot4^n>1 \) i \(4^n>2n\) )
\(4^{n+1}+3=4\cdot4^n+3=3\cdot4^n+(4^n+3)\ge 3\cdot4^n+n^2=2\cdot4^n+4^n+n^2\ge 1+2n+n^2=(n+1)^2\)

Usunę tamten post, żeby nie wprowadzać w błąd)

panb pisze: ↑15 gru 2021, 19:54
\(4^{n+1}+3=4\cdot4^n+3=3\cdot4^n+(4^n+3)\ge 3\cdot4^n+n^2=2\cdot4^n+4^n+n^2\ge 1+2n+n^2=(n+1)^2\)

A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)

smp pisze: ↑15 gru 2021, 20:30 A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)

Nie, bo wykorzystując założenie, dostajemy \(4\cdot(4^n+3)-12\ge 4n^2-12\), a to już nie zawsze jest większe od \((n+1)^2\) (dopiero od \(n\ge3\))

smp pisze: ↑15 gru 2021, 20:30 A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)

Przeczytałeś wszystkie moje posty w tym wątku

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑15 gru 2021, 22:01

smp pisze: ↑15 gru 2021, 20:30 A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)

Przeczytałeś wszystkie moje posty w tym wątku

Pozdrawiam

Tak ale to dalej jest dla mnie trochę nie zrozumiałe (jakieś te trudniejsze są indukcję matematyczne niektóre), ALE mam pytanie czy wtedy \(4^n+3>n^2\) zapisać jako \( \iff 4^n>n^2 - 3\)? Bo szukałem odpowiedzi w internecie i ktoś mi doradził po prostu aby przenieść tą trójkę na prawą stronę i wtedy tą nierówność \(4^n>n^2 - 3\) potrafię bez problemu rozwiązać. Tylko nie jestem pewien czy tak można robić, bo jakby to była zwykła nierówność to okej można sobie przenieść wyrażenie na drugą stronę, ale czy taką swobodę mamy także w indukcji matematycznej?

smp pisze: ↑15 gru 2021, 22:13 ...wtedy tą nierówność \(4^n>n^2 - 3\) potrafię bez problemu rozwiązać. Tylko nie jestem pewien czy tak można robić...

Przecież te nierówności są równoważne

Pozdrawiam