forum.zadania.info

Sprawdzić, czy zbiór \( \rr \bez \{1\}\) z działaniem \(x \cdot y = x + y − xy\) jest grupą.

Z czym jest kłopot? Pokaż, co masz w tej kwestii zrobione. Bo gotowców nie daję. Tylko wskazówki.

1. sprawdzenie, czy działanie jest wewnętrzne

• Przypuśćmy, że \(x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x \cdot y=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1\\
  x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x(1-y)=1-y \iff\\ x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (1-y)(x-1)=0 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (x=1 \vee y=1)\)
  Sprzeczność.

Wniosek: działanie jest wewnętrzne.

2. sprawdzenie czy działanie jest łączne

• \((a \cdot b) \cdot c=(a+b-ab) \cdot c=a+b-ab+c-c(a+b-ab)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
  a \cdot (b \cdot c)=a \cdot (b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
  (a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\)

Wniosek: działanie jest łączne

3. element neutralny

• \(x \cdot e=x+e-ex=x \iff e-ex=0 \iff e(1-x)=0 \So e=0 \quad (x\neq1)\)

Wniosek: e=0 jest elementem neutralnym działania

4. element odwrotny

• \(a \cdot x= 0 \iff a+x-ax=0 \iff x(a-1)=a \iff x= \frac{a}{a-1} \)

Wniosek: każdy element \(a\in \rr\bez\{1\}\)posiada element odwrotny \(x= \frac{a}{a-1} \)

Odpowiedź: Jest to grupa.

Nie lubię dawania gotowców, ale to indywidualna sprawa każdego z nas i nie podlega ocenie. No to jeszcze dodam, że na zerach i jedynkach działanie \(x\odot y=x+y-xy\) realizuje alternatywę, zaś w teorii zbiorów rozmytych jest tzw. konormą trójkątną.