Struktury: grupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Struktury: grupa
Sprawdzić, czy zbiór \( \rr \bez \{1\}\) z działaniem \(x \cdot y = x + y − xy\) jest grupą.
Ostatnio zmieniony 03 gru 2021, 10:10 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Struktury: grupa
1. sprawdzenie, czy działanie jest wewnętrzne
2. sprawdzenie czy działanie jest łączne
3. element neutralny
4. element odwrotny
- Przypuśćmy, że \(x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x \cdot y=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1\\
x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x(1-y)=1-y \iff\\ x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (1-y)(x-1)=0 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (x=1 \vee y=1)\)
Sprzeczność.
2. sprawdzenie czy działanie jest łączne
- \((a \cdot b) \cdot c=(a+b-ab) \cdot c=a+b-ab+c-c(a+b-ab)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
a \cdot (b \cdot c)=a \cdot (b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\)
3. element neutralny
- \(x \cdot e=x+e-ex=x \iff e-ex=0 \iff e(1-x)=0 \So e=0 \quad (x\neq1)\)
4. element odwrotny
- \(a \cdot x= 0 \iff a+x-ax=0 \iff x(a-1)=a \iff x= \frac{a}{a-1} \)
Odpowiedź: Jest to grupa.
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Struktury: grupa
Nie lubię dawania gotowców, ale to indywidualna sprawa każdego z nas i nie podlega ocenie. No to jeszcze dodam, że na zerach i jedynkach działanie \(x\odot y=x+y-xy\) realizuje alternatywę, zaś w teorii zbiorów rozmytych jest tzw. konormą trójkątną.