forum.zadania.info

Witam chciałbym żeby ktoś rozwiązał ten układ za pomocą tw.Cramera.

Dla jakich \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\in\rr\) układ równań
\[ \begin{cases}x_1+\alpha x_2+\alpha^2x_3=\alpha^3\\x_1+\beta x_2+\beta^2x_3=\beta^3\\x_1+\gamma x_2+\gamma^2x_3=\gamma^3 \end{cases} \]
ma rozwiązanie? Wyznacz to rozwiązanie

1. Wyznacznik główny:
\(W= \begin{vmatrix}1&\alpha&\alpha^2\\1&\beta & \beta^2\\1&\gamma&\gamma^2 \end{vmatrix}=\beta\gamma^2+\alpha^2\gamma+\alpha\beta^2-\alpha^2\beta-\beta^2\gamma-\alpha\gamma^2=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
W_{x_1}= \begin{vmatrix}\alpha^3&\alpha&\alpha^2\\\beta^3&\beta & \beta^2\\\gamma^3&\gamma&\gamma^2 \end{vmatrix}=\alpha^3\beta\gamma^2+\alpha^2\beta^3\gamma+\alpha\beta^2\gamma^3-\alpha^2\beta\gamma^3-\alpha^3\beta^2\gamma-\alpha\beta^3\gamma^2=\\
\qquad=\alpha\beta\gamma(\alpha^2\gamma+\alpha\beta^2+\beta\gamma^2-\alpha\gamma^2-\alpha^2\beta-\beta^2\gamma)=\alpha\beta\gamma(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
W_{x_2}=\begin{vmatrix}1&\alpha^3&\alpha^2\\1&\beta^3 & \beta^2\\1&\gamma^3&\gamma^2 \end{vmatrix}=\beta^3\gamma^2+\alpha^2\gamma^3+\alpha^3\beta^2-\alpha^2\beta^3-\beta^2\gamma^3-\alpha^3\gamma^2=\\ \qquad
=(\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)\\
W_{x_3}= \begin{vmatrix}1&\alpha&\alpha^3\\1&\beta & \beta^3\\1&\gamma&\gamma^3 \end{vmatrix}=\beta\gamma^3+\alpha^3\gamma+\alpha\beta^3-\alpha^3\beta-\beta^3\gamma-\alpha\gamma^3=\\\qquad=(\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)\)

Przywróciłem i poprawiłem Twój post, żeby post panb nie poleciał w kosmos...
Następnym razem pisz w kodzie \(\LaTeX\)

Pozdrawiam