forum.zadania.info

Wykaż, że jeśli dodatnie liczby a i b spełniają nierówność \( a+b \ge 1\), to\(a^4+b^4 \ge \frac{1}{8}\)

Wprost:
\( L = a^4 + b^4 \stackrel{(*)}{\geq} \frac{(a^2 + b^2)^2}{2} = \frac{(\frac{a^2 + b^2}{2})^2}{8} \stackrel{(*)}{\geq} \frac{(a+b)^4}{8} \geq \frac{1}{8} = P \)
Nierówności \( (*) \) to nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną.
Można również bezpośrednio powołać się na nierówność między średnimi potęgowymi:
\( \sqrt[4]{\frac{a^4 + b^4}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \So a^4 + b^4 \geq \frac{(a+b)^4}{8} \)
więcej np. tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... 4%99gowymi

kerajs pisze: ↑31 paź 2021, 12:40 \(\frac{16a^4+1+1+...+1}{16}- \frac{15}{16}+ \frac{16b^4+1+1+...+1}{16} - \frac{15}{16} \ge 2a+2b-2 \cdot \frac{15}{16} \)

Jak otrzymałeś oszacowanie z dołu przez \( 2a + 2b \) ?

Nie otrzymałem. Napisałem powyższe, lecz po przeczytaniu zauważyłem jego błędność i od razu usunąłem (dziennik moderacji wskazuje na skasowanie go o 13:12). Kod przekopiowałem do okna odpowiedzi zamierzając go poprawić, lecz nie bardzo miałem na to czas. Widocznie przypadkowo coś nacisnąłem (lub ktoś nacisnął) i bezwiednie ponownie opublikowałem błędną odpowiedź. Przepraszam za zamieszanie.

wersja poprawiona:

\(a^4+b^4= \frac{16a^4}{16}+ \frac{16b^4}{16}+( \frac{3}{16}- \frac{3}{16}+ \frac{3}{16}- \frac{3}{16})=\\=\frac{16a^4+1+1+1}{16}- \frac{3}{16}+ \frac{16b^4+1+1+1}{16} - \frac{3}{16} \ge \frac14 (2a+2b)-2 \cdot \frac{3}{16} \ge \frac{1}{8}\)

Aby rozwiać ewentualne wątpliwości:

\(\frac{16a^4+1+1+1}{16}= \frac{1}{4} \cdot \frac{16a^4+1+1+1}{4} \ge \frac{1}{4} \cdot \sqrt[4]{16a^2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}= \frac{1}{4} \cdot 2a \)

Równość zachodzi dla \(a= \frac{1}{2} \)