Wykaż tożsamość

[korepetycje112]

\((1+sinx-cosx)/ (2 \sqrt(2)sin(x/2)=cos((2x-\pi)/4)\)

Wykaż, że dana równośc jest tożsamością trygonometryczną.

[eresh]

(1+sinx-cosx)/ (2 sqrt(2)sin(x/2)=cos((2x-pi)/4)

Wykaż, że dana równośc jest tożsamością trygonometryczną.

tak to ma wyglądac?
\(\frac{1-\sin x-\cos x}{2\sqrt{\sin\frac{x}{2}}}=\cos\frac{2x-\pi}{4}\)

[korepetycje112]

\(\frac{1+\sin x-\cos x}{2\sqrt2\sin(\frac{x}{2})}=\cos(\frac{2x-{\pi}}{4})\)

Tutaj poprawny wzór Dziękuję za szybką odpowiedź

[Jerry]

Ponieważ:
\(1-\sin x-\cos x=(\sin^2{x\over2}+\cos^2{x\over2})-2\sin{x\over2}\cos{x\over2}-(\cos^2{x\over2}-\sin^2{x\over2})=2\sin{x\over2}(\sin{x\over2}-\cos{x\over2})=\\
\quad\ =2\sin{x\over2}(\sin{x\over2}-\sin({\pi\over2}-{x\over2}))=4\sin{x\over2}\sin{x-{\pi\over2}\over2}\cos{{\pi\over2}\over2}=4\sin{x\over2}\sin{2x-\pi\over4}\cdot{\sqrt2\over2}=2\sqrt2\sin{x\over2}\sin{2x-\pi\over4}\\
\quad\ =2\sqrt2\sin{x\over2}\cos\left({\pi\over2}-{2x-\pi\over4}\right)=2\sqrt2\sin{x\over2}\cos{\pi-2x\over4}\)
to

tak to ma wyglądac?
\(\frac{1-\sin x-\cos x}{2\sqrt{\sin\frac{x}{2}}}=\cos\frac{2x-\pi}{4}\)

nie

Pozdrawiam

[eresh]

\(\frac{1+sinx-cosx}{2\sqrt2sin(\frac{x}{2})}=cos(\frac{2x-{\pi}}{4})\)

Tutaj poprawny wzór Dziękuję za szybką odpowiedź

\(\frac{1+\sin x-\cos x}{2\sqrt2 \sin(\frac{x}{2})}=\frac{1+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}}=\\=\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})}{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}}=\\=\frac{\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})+\cos\frac{x}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2}-x}{2}}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\frac{\pi}{2}-x}{2}=\cos (\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=\cos\frac{2x-\pi}{4}\)