równanie wykładnicze

[viGor027]

Poproszę z wyjaśnieniem, narzędziami licealnymi. Dałem rade zrobić do momentu ściągnięcia wartości bezw. potem brak pomysłów co dalej

rozwiąż równanie \((\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x = 6\)

[kerajs]

Clou tego zadania to zależność:
\( \sqrt{3-2 \sqrt{2} }= \frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{2} }} \)
Przyjmując \(t=(\sqrt{3+2 \sqrt{2} })^x\) równanie przybiera postać
\(t^2-6t+1=0\)
o rozwiązaniach \(t=3-2 \sqrt{2} \) lub \(t=3+2 \sqrt{2}\)
a stąd \(x= -2 \)lub \(x=2\)

[viGor027]

Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć? Bo chciałbym jej postać ogólną znaleźć(w sensie na literkach jak to działa, i w jakich okolicznościach)

[kerajs]

Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć?

Mogę, o ile wyjaśnisz o jaką własność pytasz.

\(3+2 \sqrt{2}\) i \(3-2 \sqrt{2}\) są liczbami odwrotnymi, podobnie jak ich potęgi.

[viGor027]

Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć?

Mogę, o ile wyjaśnisz o jaką własność pytasz.

\(3+2 \sqrt{2}\) i \(3-2 \sqrt{2}\) są liczbami odwrotnymi, podobnie jak ich potęgi.

chodzi mi o to jak zapisać to za pomocą literek, bo raczej nie można generalnie zapisać, że \(x-y\) to odwrotność liczby \(x+y\), bo wtedy gołym okiem widać że to się nie zgadza

[kerajs]

Pary można zapisać tak: \(x+ \sqrt{x^2-1} \) i \(x- \sqrt{x^2-1} \) dla \(|x|>1\)
O to chodzi?

[panb]

Co to za własność jeśli możesz podpowiedzieć? Bo chciałbym jej postać ogólną znaleźć(w sensie na literkach jak to działa, i w jakich okolicznościach)

Jeśli pomnożysz \((3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=1\) z wzoru skróconego mnożenia np.
Skoro \((3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=1 \So 3-2\sqrt2= \frac{1}{3+2\sqrt3} \), no nie?

Wniosek: tak można robić, jeśli (x-y)(x+y)=1.
O to chodziło