forum.zadania.info

Dzień dobry, na zadania info jest następujące zadanie. Określ dla jakich "m" wielomian W(x) ma trzykrotny pierwiastek. Stwierdziłem, że zgodnie z Bezoutem nie zaszkodzi sprawdzić +1 i -1, jako dzielników każdej liczby całkowitej. I bingo +1 okazało się być tym pierwiastkiem. "m" wychodzi !spoiler! -4. Po podzieleniu stwierdzam "a czemu by znowu nie spróbować szczęścia?" No i znowu +1 to pierwiastek. Trzeciego razu już nie próbowałem, tylko poleciałem sprawdzić rozwiązanie: m=-4

\( W(x) = 2x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 10x + m\)

Moje pytanie jest takie - czy takie rozwiązanie nie jest zbyt naciągane? Na z-info były dwie inne propozycje, ale tej nie.

Lerxst pisze: ↑15 wrz 2021, 09:53 ... I bingo +1 okazało się być tym pierwiastkiem.

Skąd ten wniosek? Przecież \(w(1)=m+4\)

Lerxst pisze: ↑15 wrz 2021, 09:53 Moje pytanie jest takie - czy takie rozwiązanie nie jest zbyt naciągane?

Tak, jest naciągane! Jako egzaminator dałbym 1 pkt za zgadniętą i zweryfikowaną odpowiedź

Pozdrawiam

Ok, skrót myślowy - założyłem że nim jest (bo z tw. B. miałem takie prawo), okazało się że nim jest gdy m = -4, i jak podrążyłem temat z tym m = -4 (dalsze dzielenie i podstawianie 1 do nowopowstałego wielomianu stopnia o 1 mniejszego) okazało się że to dobry trop

Z tego co zrozumiałem:
1) Sprawdziłeś dla jakiej wartości parametru m liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W
2) Otrzymałeś m = -4
3) Sprawdziłeś czy dla znalezionego parametru m wielomian spełnia warunki zadania dzieląc wielokrotnie przez dwumian \( x - 1 \) (ja osobiście podzieliłbym raz przez \( (x-1)^3 \)).
4) Okazało się, że tak.
5) Kończysz zadanie.
Z tym rozwiązaniem są dwa główne problemy:
1) Skąd pomysł, że to właśnie \( x = 1 \) jest pierwiastkiem wielomianu?
Dlaczego np nie \( x = 0 \). Wtedy wielomian będzie jeszcze przyjemniejszy bo wyzeruje Ci się wyraz wolny. Inne liczby też wchodzą w grę: \( -1 , 2 , \frac{3}{2} , e , \pi , \varphi , \Omega \).
2) Rozważyłeś zadanie tylko dla \( m = -4 \). Co z innymi wartościami m? Czy potrafisz uzasadnić, że istnieje tylko jedna wartość parametru m dla której wielomian spełnia warunki zadania?
Można to \("\)łatwo\("\) naprawić:
Najpierw pokazujesz, że jeżeli takie m istnieje to jest tylko jedno, a następnie celnym strzałem w \( m = - 4 \) wskazujesz konkretny wielomian i jego rozkład.

Odnośnie tych dwóch głównych problemów

1) skąd pomysł - już mówię: z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach (oczywiście z nazwaniem tego twierdzeniem Bezouta to moja pomyłka) wielomianu. Przyjąłem (chyba za szybko), że m jest liczbą całkowitą, a jak wiadomo 1 jest dzielnikiem każdej liczby całkowitej, więc stwierdziłem, że nie zaszkodzi założyć że to właśnie jeden jest pierwiastkiem. Sprawdziło się i tak samo potem poszło...

2) To argument nie do obalenia, rzeczywiście mój sposób ma wady.

Lerxst pisze: ↑15 wrz 2021, 21:51 1) skąd pomysł - już mówię: z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach (oczywiście z nazwaniem tego twierdzeniem Bezouta to moja pomyłka) wielomianu. Przyjąłem (chyba za szybko), że m jest liczbą całkowitą, a jak wiadomo 1 jest dzielnikiem każdej liczby całkowitej, więc stwierdziłem, że nie zaszkodzi założyć że to właśnie jeden jest pierwiastkiem. Sprawdziło się i tak samo potem poszło...

Czyli podsumowując:
Przyjmujesz wygodne dla siebie założenia kompletnie lekceważąc inne:
1) Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych narzuca Ci warunek na współczynniki (musza być całkowite), więc zakładasz \( m \in Z \) ignorując wszystkie niecałkowite wartości parametru m.
2) Jak już skorzystałeś z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych to przyjąłeś znowu wygodną opcję: \( x =1 \) jest pierwiastkiem.
Za takie wybieranie i niedopatrzenia zostałby finalnie ucięte punkty (o ile w ogóle jakieś byłyby przyznane).

Sprawdziłeś czy dla znalezionego parametru m wielomian spełnia warunki zadania dzieląc wielokrotnie przez dwumian x−1 (ja osobiście podzieliłbym raz przez