forum.zadania.info

Czy ktoś jest w stanie wyznaczyć bazę przekształcenia liniowego?:

\(f: \rr^3\to\rr^2\\
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)\)

Napewno będzie tutaj "działała" baza kanoniczna. Ale czy są jeszcze inne wektory generujące tę przestrzeń \(\rr^3\)?
Ktoś potrafi pomóc?

Nic ci nie pomoże, jeśli nie zastosujesz zapisu poprawnego.
Taki zapis f(x1,x2,x3)=(x1,2x2,3x3;3x1,2x2,x3) jest błędny. Między x1,2x2,3x3 powinno byś jakieś działanie (mnożenie, dodawanie, itp.). No i stosuj LaTeX.

Jasne, oczywiście mój błąd w zapisie. Powinno być wszędzie dodawanie.

agfija pisze: ↑07 wrz 2021, 14:37 Czy ktoś jest w stanie wyznaczyć bazę przekształcenia liniowego?:

\(f: \rr^3\to\rr^2\\
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)\)

Na pewno będzie tutaj "działała" baza kanoniczna. Ale czy są jeszcze inne wektory generujące tę przestrzeń \(\rr^3\)?
Ktoś potrafi pomóc?

\((x_1+2x_2+3x_3,\ 3x_1+2x_2+x_3)=x_1(1,3)+x_2(2,2)+x_3(3,1)\\
2 \cdot (2,2)=(1,3)+(3,1)\)
Jeśli wektory (1,3) oraz (3,1) są liniowo niezależne (sprawdź), to stanowią one bazę przekształcenia \(f\).

Ok, dzięki wielkie. Od razu widać, że będą tworzyły bazę. Jednak te wektory będą bazą przestrzeni R^2. A w zadaniu (niedopisalam) chodzi o wektory generujące przestrzeń R^3. Czy tych baz nie będzie jakoś dużo?
Bo tak: powstają dwa wektory (1,2,3) oraz (3,2,1), więc np. bazą mogłyby być wektory: (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)?
Ponieważ mnożąc wektory bazy przez pewne stałe jestem w stanie wygenerować wektor (1,2,3) lub (3,2,1). Zgadza się? O to tutaj się rozchodzi? Tylko teraz pytanie: jak znaleźć te (wszystkie) wektory bazy generujące R^3?

Tak, dlatego pytanie o bazę \(R^3\) jest co najmniej "dziwne". Nie ma ono związku z przekształceniem \(f\).

Ok, a zatem bazę w R^2 będą tworzyły tylko te wektory, które Ty wypisałeś? Czy jestem w stanie znaleźć jakieś inne generujące przestrzeń R^2?

Jeżeli wektory \(v_1, v_2\) są bazą pewnej przestrzeni liniowej, to dla dowolnych niezerowych skalarów \(\alpha_1, \alpha_2\) wektory \( \alpha_1v_1, \alpha_2v_2\) również są bazą tej przestrzeni.