Eluwinaeeeee pisze: ↑05 wrz 2021, 22:51
Podać bazę i wymiar podprzestrzeni:
\(W = {(x_1, ..., x_4) | 2x_1-x_2+3x_3 +x_4=0}\)
Zazwyczaj są wektory w takich zadaniach a jak jest takie coś ?
Zauważ, że do przestrzeni W należą wektory o współrzędnych
\( \left(x_1,2x_1+3x_3+x_4,x_3,x_4 \right) \)
Rzeczywiście
\(2x_1-(2x_1+3x_3+x_4)+3x_3+x_4=0\), a to równanie definiuje W.
Teraz
\( \left(x_1,2x_1+3x_3+x_4,x_3,x_4 \right)=x_1(1,2,0,0)+x_3(0,3,1,0)+x_4(0,1,0,1) \)
Wektory
\(\{(1,2,0,0),(0,3,1,0),(0,1,0,1)\}\) są liniowo niezależne (sprawdź!) więc tworzą bazę podprzestrzeni W.
Ponieważ jest ich sztuk 3, więc taki jest też wymiar tej podprzestrzeni.
Odpowiedź: Bazę podprzestrzeni W stanowią wektory\(\{(1,2,0,0),(0,3,1,0),(0,1,0,1)\},\quad \dim(W)=3\)