forum.zadania.info

Witam,
Mam dwa zadania lecz nie bardzo potrafie je rozwiązać


Zad 1. Wykaż, że jeśli długość środkowej CD trójkąta ABC jest równa połowie długości boku AB, to trójkąt jest prostokątny.

Zad 2. Kąty AOC i COB są przyległe. Narysowano dwusieczne k i l tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AB. Ta prosta przecina dwusieczne k i l odpowiednio w punktach D i E, a ramię OC w punkcie F. Wykaż, że DF = EF.


Z góry dziękuje za pomoc
Pozdrawiam

Nejji pisze: ↑13 lip 2021, 09:30 Zad 1. Wykaż, że jeśli długość środkowej CD trójkąta ABC jest równa połowie długości boku AB, to trójkąt jest prostokątny.

Na przykład tak: Niech
\(|\angle ADC|=\alpha\)
wtedy:
-) \(|\angle BDC|=180^\circ -\alpha\)
-) z równoramienności \(\Delta ADC,\ \Delta DBC\)
\(|\angle ACD|={180^\circ-\alpha\over2},\ |\angle DCB|={180^\circ-(180^\circ-\alpha)\over2}\)
-) \(|\angle ACB|=|\angle ACD|+|\angle CDB|=\ldots=90^\circ\\ CKD\)

Pozdrawiam

Nejji pisze: ↑13 lip 2021, 09:30 Zad 2. Kąty AOC i COB są przyległe. Narysowano dwusieczne k i l tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AB. Ta prosta przecina dwusieczne k i l odpowiednio w punktach D i E, a ramię OC w punkcie F. Wykaż, że DF = EF.

Zrób schludny rysunek i np. zauważ:
Wobec równości kątów naprzemianległych wewnętrznie \( \begin{cases} |\angle FDO|=|\angle DOA|\\|\angle FEO|=|\angle EOB|\end{cases} \) mamy \(\Delta DOF,\ \Delta FOE\) są równoramienne i \( \begin{cases}|DF|=|FO|\\ |FO|=|FE| \end{cases} \), z czego bezpośrednio wynika teza

Pozdrawiam
PS. I w dowodzie nie jest istotna prostokątność \(\Delta DOE\)