forum.zadania.info

Niech \(P = \{ (x, y) : a( |x| + |y|) + b(|x+y| + |x-y|) = 2(a + b)(a + 2b) \}\). Uzasadnij ze :

a) Na płaszczyźnie \(xOy\) zbiór punktów \(P\) jest wypukłym wielokątem
b) P jest wielokątem foremnym \(\iff \frac{a}{b} = \sqrt{2}\)

To pełna treść zadania?
Ten zbiór (o ile istnieje) nie może być figurą, lecz tylko jej brzegiem.
Przypuszczam, że brakuje ograniczeń na parametry a, b skoro
- dla ujemnych a,b zbiór P nie istnieje
- dla (a=0 i b>0) lub (b=0 i a>0) P jest brzegiem kwadratu

PS
Zakładając że a,b są dodatnie to proste x=0,x=y,y=0,y=-x dzielą XOY na 8 części. W każdej z nich zbiór punktów jest prostą. Zamiast się męczyć wystarczy wskazać punkty na prostych rozcinających XOY. Są to (0, 2(a+b) ) ; (0, -2(a+b) ) ; ( 2(a+b), 0 ) ; (-2(a+b), 0 ) ;(a+2b, a+2b) ; (-(a+2b), -(a+2b) ) ; (a+2b, -(a+2b)) ; (-(a+2b), a+2b )

i) Łamana ogranicza wielokąt wypukły gdy \(p \le \sqrt{2}q \wedge q \le \sqrt{2}p \)
gdzie p to odległość między punktami na prostej x=0 (także y=0)
a q to odległość między punktami na prostej x=y (także y=-x)
ii) Łamana ogranicza wielokąt foremny gdy \(p=q \vee p= \sqrt{2}q \vee q= \sqrt{2}p \)