zbiór punktów
: 22 cze 2021, 20:49
Znajdź zbiór środków ciężkości trójkątów równobocznych, których wierzchołki leżą na bokach danego kwadratu ABCD.
Fajne zadanie.
https://www.desmos.com/calculator/zr4v2lgsws
Rozważamy kwadrat o boku 1 jak na załączonym rysunku (można go animować). Niech \(A(a,0),B(0,b),C(c,1).\) Wtedy porównując długości boków AB, BC i AC, dochodzimy do układu równań, z którego\[a=\sqrt{3}-c,\quad b=c\sqrt{3}-1,\quad\sqrt{3}-1\leqslant c\leqslant 1.\] Środek ciężkości to średnia arytmetyczna punktów A,B,C, czyli\[\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}c\right).\]Srodki ciężkości trójkątów ABC leżą więc na odcinku.
To jeszcze nie wszystko. Chodzi o to, że zawsze jeden z boków kwadratu nie zawiera wierzchołka trójkąta. Pominąłem prawy bok. A teraz trzeba pominąć dolny, górny i lewy. Finalnie szukanym zbiorem punktów jest brzeg kwadratu o środku \((1/2,1/2)\) i bokach długości \(2-\sqrt{3}\) równoległych do boków wyjściowego kwadratu. Tego już nie rysowałem na Desmosie. Kto chce, może dokończyć rysunek.
Poprawiłem swój post zgodnie z Twoją poprawną sugestią.