liczby wymierne
: 03 cze 2021, 19:30
Niech \(a\) będzie liczbą całkowitą. Pokaż że dla każdej liczby rzeczywistej x, \(x^3 < 3\), obie liczby \( \sqrt{3 −x^2}\) oraz \( \sqrt{a − x^3}\) nie mogą być wymierne.
\(1)\) Jeżeli \( x \) jest liczbą niewymierną to jedna z liczb \( x^2 \ , \ x^3 \) jest liczbą niewymierna.
Różnica liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną zatem jedna z liczb \(3 - x^2 \ , \ a - x^3 \) będzie liczbą niewymierną. Pierwiastek kwadratowy z liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Sprzeczność
\(2)\) Jeżeli \( x \) jest liczbą wymierną to połóżmy \( x = \frac{p}{q} \ , (p,q) = 1 \)
Wtedy:
\( \sqrt{3 - x^2} = \sqrt{\frac{3q^2 - p^2}{q^2}} = \frac{\sqrt{3q^2 - p^2}}{q}\)
Co oznacza, że \( 3q^2 - p^2 \) musi być kwadratem liczby naturalnej:
\( 3q^2 - p^2 = n^2 \So 3q^2 = p^2 + n^2 \)
Lewa strona jest podzielna przez \(3\) zatem i prawa musi być podzielna przez \(3\):
\( 3| (p^2 + n^2) \So 3 | p \wedge 3 | n \)
ale to oznacza, że \(9|(p^2 + n^2)\), więc \( 3|q \) co jest sprzeczne z \( (p,q) = 1 \)
P.S.
Założenie \( x^3 < 3 \) jest jakieś wadliwe. Nie wnosi nic ciekawego jak i też kłóci się z dziedziną naturalną dla pierwszego pierwiastka: \( |x| < \sqrt{3} \). Dziwnie sformułowanie zadanie.