forum.zadania.info

Używając oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywą:
\(x=a( \gamma -\sin \gamma ), y=a(1-\cos \gamma ), a>0, \gamma \in [0,2\pi]\)
oraz osią X.

Tojahaha pisze: ↑27 maja 2021, 00:04 Używając oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywą:
\(x=a( \gamma -\sin \gamma ), y=a(1-\cos \gamma ), a>0, \gamma \in [0,2\pi]\)
oraz osią X.

\(|D|=\oint_Ky\,{dx}\), gdzie krzywa K składa się z odcinka AB oraz łuku cykloidy (tak się ta krzywa nazywa) od B do A.
Krzywa jest sparametryzowana: \(y=a(1-\cos \gamma ),\,\, dx=a(1-\cos\gamma)d\gamma, \,\,\gamma\in[0,2\pi]\)
Odcinek AB łatwo sparametryzować: \(y=0,\,\, dx=d\gamma, \,\,\gamma\in[0,2\pi]\)
\[|D|= \int_{0}^{2\pi} \left(0+a(1-\cos \gamma ) \right)a(1-\cos\gamma)\,{d\gamma} = \int_{0}^{2\pi} (1-\cos\gamma)^2\,{d\gamma}=\\ = a^2 \int_{0}^{2\pi} \left(1-2\cos\gamma+ \frac{1+\cos2\gamma}{2} \right)\,{d\gamma}= \ldots =a^2\cdot 3\pi =2\pi a^2 \]