Całka z funkcji wymiernej

[damian28102000]

Cześć!
Borykam się całką z funkcji wymiernej:
\( \int{\frac{dx}{x^3-8}}\)

Próbowałem chyba już wszystkich poznanych technik na zajęciach, ale nie udaje mi się jej ruszyć.

[korki_fizyka]

A czy poznałeś już technikę rozkładu wielomianu na czynniki i ułamki proste
\( x^3-8 =(x-2)(x^2+2x+4)\)

[Icanseepeace]

Rozkład na ułamki proste:
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12(x-2)} - \frac{x + 4}{12(x^2 + 2x + 4)} \)

[damian28102000]

A czy poznałeś już technikę rozkładu wielomianu na czynniki i ułamki proste
\( x^3-8 =(x-2)(x^2+2x+4)\)

Rozkład na ułamki proste:
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12(x-2)} - \frac{x + 4}{12(x^2 + 2x + 4)} \)

Wiocha się przyznać, ale nawet nie uważałem tego za wielomian, nigdzie nie znalazłem jak rozkładać x do potęgi 3, za pomocą tych A B C etc., mógłby ktoś z was pokazać? Bo na logikę rozumiem, ale nie wiem jak by to wyglądało w sposób algorytmiczny.

[Icanseepeace]

\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste

[damian28102000]

\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste

Czyli jak trafiam na przypadek z x^3+COŚ w środku to muszę znaleźć rozwiązanie, dla którego się zeruje i "walnąć" Hornerem, by później podążyć standardowym algorytmem rozkładu wielomianu na pierwiastki proste?

[Icanseepeace]

Jeżeli masz przypadek: \(x^3 + A\) gdzie \( A \) jest jakąś liczbą rzeczywistą to korzystaj z wzoru \( x^3 + a^3 \).
Ogólnie w całkach z funkcji wymiernej pierwszym krokiem jest sprowadzenie mianownika do postaci iloczynowej.
Sposób w jaki to zrobisz nie ma większego znaczenia (tw o pierwiastkach wymiernych + schemat Hornera jest jednym ze sposobów).

[damian28102000]

\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste

Dobra, nadal nie wiem, w poprzednich przykładach po prostu mnożyłem przez mianownik z lewej strony i pozbywałem się ułamków, ale teraz to się nie udaje...

[Icanseepeace]

\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)

Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika

\(P = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} = \frac{A(x^2 + 2x + 4) + (x-2)(Bx + C)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} =
\frac{(A+B)x^2 + (2A + C -2B)x + 4A - 2C}{x^3 - 8} \)

i porównujesz wielomiany w liczniku.

\( 0x^2 + 0x + 1 = (A+B)x^2 + (2A + C -2B)x + 4A - 2C \\ \)
\( x^2 : A + B = 0 \\ x^1 : 2A + C - 2B = 0 \\ x^0 : 4A - 2C = 1 \)
Wystarczy rozwiązać powyższy układ równań.
\(\begin{cases}A = \frac{1}{12} \\ B = -\frac{1}{12} \\ C = - \frac{1}{3} \end{cases}\)

[korki_fizyka]

Wiocha się przyznać, ale nawet nie uważałem tego za wielomian, nigdzie nie znalazłem jak rozkładać x do potęgi 3, za pomocą tych A B C etc., mógłby ktoś z was pokazać? Bo na logikę rozumiem, ale nie wiem jak by to wyglądało w sposób algorytmiczny.

Od tego są podręczniki albo Google:
https://matematykaszkolna.pl/strona/55.html
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/ti ... go+rodzaju