forum.zadania.info

Mam problem z zadaniem z algebry.

Niech \(f:\rr^4 \to \rr^2\) i niech:
\(f(0,1,1,0) = (1, -2)\\
f(1,1,-1,0) =(1,0)\\
f(0,0,1,-1) = (3,1)\\
f(0,0,0,1) = (1,1)\).
Znaleźć macierz przekształcenia \(f\) w bazach
\(P = \{(1,0,0,0),(1,-1,0,0),(0,0,1,0),(-2,0,0,1)\}\)
dla dziedziny i
\(R = \{(1,0),(1,-1)\}\)
dla obrazu.

Bardzo proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie tego zadania. Z góry dzięki!:)

pysia824 pisze: ↑19 maja 2021, 02:49 Mam problem z zadaniem z algebry.

Niech R^4 -> R^2 i niech:
f(0,1,1,0) = (1, -2)
f(1,1,-1,0) =(1,0)
f(0,0,1,-1) = (3,1)
f(0,0,0,1) = (1,1).
Znaleźć macierz przekształcenia f w bazach
P = {(1,0,0,0),(1,-1,0,0),(0,0,1,0),(-2,0,0,1)}
dla dziedziny i
R = {(1,0),(1,-1)}
dla obrazu.

Bardzo proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie tego zadania. Z góry dzięki!:)

Niech A będzie macierzą przekształcenia f w starej bazie, a B szukaną macierzą w nowych bazach
W starej bazie mamy \(Ax=y\).
Niech wektory x' i y' będą wektorami x i y zapisanymi w nowych bazach. Czyli \(x'=Px\) oraz \(y'=Ry\).
Szukana baza spełnia warunek: \(Bx'=y'\) Teraz podstawiamy:
\[Bx'=y' \stackrel{(x'=Px,\,\,\, y'=Ry)}{\iff} BPx=Ry \stackrel{(y=Ax)}{\iff} BPx=RAx \So BP=RA \So B=RAP^{-1}\]

Wystarczy znaleźć macierz \(A\) i macierz \(P^{-1}\) i wykonać mnożenie.

Wskazówka:

• Macierz \(A= \begin{bmatrix}a&b&c&d\\x&y&z&t \end{bmatrix} \) znajdziesz rozwiązując długi, ale łatwy układ równań (zacznij od ostatniego):
  \( A \begin{bmatrix}0\\1\\1\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\-2 \end{bmatrix} \wedge A \begin{bmatrix}1\\1\\-1\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \wedge A \begin{bmatrix}0\\0\\1\\-1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3\\1 \end{bmatrix} \wedge A \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \)

Ponieważ łatwo w takich rachunkach o pomyłkę podam (p)odpowiedzi:

1. \(A= \begin{bmatrix}8&-3&4&1\\2&0&2&1 \end{bmatrix} \)
2. \(P^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&1 \end{bmatrix}\)
3. \(B= \begin{bmatrix}7&3&4&1\\3&3&2&0 \end{bmatrix} \)

• Jakby coś było niejasne pytaj

Mam jeszcze pytanie, bo nie rozumiem za bardzo tego zapisu \(x' = Px\) i \(y' = Ry\), tutaj \(P\) i \(R\) to są macierze przejścia z bazy do bazy?

Tak, to te macierze dane w zadaniu.

Czyli ta macierz P jest macierzą przejścia z bazy P do P' czy do R? I nie wiem jeszcze czemu ta macierz jest zapisana tak że wektory są wierszami, a nie kolumnami

Nie wiem o co pytasz. x' to wektor x o współrzędnych w bazie P.
Z tymi kolumnami może masz rację. Zapis \(B=RAP^{-1}\) jest poprawny bez względu na zapis.