forum.zadania.info

Używając oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywą:
\(x=a( \gamma -sin \gamma ), y=a(1-cos \gamma ), a>0, \gamma \in [0,2\pi]\)
oraz osią X.

Jeremyyy pisze: ↑13 maja 2021, 12:12 Używając oblicz pole powierzchni obszaru D ograniczonego krzywą:
\(x=a( \gamma -sin \gamma ), y=a(1-cos \gamma ), a>0, \gamma \in [0,2\pi]\)
oraz osią X.

Krzywa ograniczająca obszar D składa się części \(C_1\): odcinka osi X (\(\text{ od } x=0 \text{ do } x=2\pi \)) oraz krzywej \(C_2\) opisanej parametrycznie \(x=a( \gamma -\sin \gamma ), y=a(1-\cos \gamma ), a>0, \gamma \in [0,2\pi]\).
Krzywa będzie zorientowana dodatnio jeśli wystartujemy z (0,0) po osi X do \((0,2\pi\) i potem po krzywej od \((0,2\pi) \) do (0,0).

Pole obszaru ograniczonego taka krzywą (z wzoru Greena, bo tak ma być) wyraża się wzorem \[|D|=\int_K x\,{dy}= \int_{C_1} x\,{dy}+\int_{C_2} x\,{dy}\\
|D|= \int_{0}^{2\pi}x\cdot 0+ \int_{2\pi}^{0}a(\gamma-\sin\gamma)\cdot a\sin\gamma d\gamma=0+ a^2 \left( \int_{2\pi}^{0} \gamma\sin\gamma d\gamma - \int_{2\pi}^{0}\sin^2\gamma d\gamma \right) \\
|D|=a^2(2\pi-(-\pi) =3a^2\pi\]