forum.zadania.info

Losujemy dwa wierzchołki wielokąta wypukłego. Prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków tworzących tę samą przekątną jest mniejsze niż \(3/4\), a prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków tworzących ten sam bok jest mniejsze od \(1/3\). Ile wierzchołków ma ten wielokąt?

Dla \(n\in\zz\wedge n\ge3\) mamy
\(|\Omega|={n\choose2}={n(n-1)\over2}\)
\(|P|={n(n-3)\over3}\)
\(|B|=n\)
zatem
\(p(P)=\frac{3(n-3)}{2(n-1)}\)
\(p(B)=\frac{2}{n-1}\)
Pozostaje rozwiązać
\(\frac{3(n-3)}{2(n-1)}<{3\over4}\wedge \frac{2}{n-1}<{1\over3}\)

Pozdrawiam