forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie \(m \in N\) i \(n \in N\) (\(m>0,\ n>0\)) takie że wszystkie rozwiązania równania \((x^2 − mx+n)(x^2 −nx+ m)=0\) są liczbami naturalnymi wiekszymi od zera.

Łatwo sprawdzić, że \((m,n)\in\{(2,1),(1,2),(2,3),(3,2),(4,4)\}\) spełniają warunki zadania.
Dla \(m,n>4\), dokładnie takich, że
\( \begin{cases}m^2-4n\ge0\\ n^2-4m\ge0 \end{cases} \)
wyróżniki trójmianów w nawiasach są nieujemne i równanie ma rozwiązania \(x_1,x_2, x_3, x_4\), niekoniecznie różne, takie że
\(x_1+x_2=m=x_3\cdot x_4\wedge x_3+x_4=n=x_1\cdot x_2 \)
Zatem
\(\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{x_3+x_4}{x_3\cdot x_4}\)
co można zapisać
\(\left({1\over x_1}+{1\over x_2}\right)\left({1\over x_3}+{1\over x_4}\right)=1\)
Dla \(x_i\in\zz_+\) i wszystkich większych od \(2\) równanie to jest sprzeczne. Pozostaje weryfikacja, czy możliwe jest, że któryś \(x_i=1\) lub \(x_i=2\) dla \(m,n>4\).
Stawiam hipotezę, że nie.

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑12 maja 2021, 12:37 ...Pozostaje weryfikacja, czy możliwe jest, że któryś \(x_i=1\) lub \(x_i=2\) dla \(m,n>4\).
Stawiam hipotezę, że nie.

I się pomyliłem...
Jeżeli \(x_1=1\), to \(x_2=n\) i \(m=n+1\). Rozwiązując równanie
\(x^2-nx+n+1=0\)
otrzymamy
\(\Delta=n^2-4n-4=(n-2)^2-8\)
Warunkiem koniecznym wymierności pierwiastków jest
\((n-2)^2-8=k^2\wedge k\in\zz_+\)
to równanie jest równoważne
\((n-2-k)(n-2+k)=8\)
\((n-2-k=1\wedge n-2+k=8)\vee(n-2-k=2\wedge n-2+k=4)\)
Pierwszy układ nie ma rozwiązań całkowitych, drugi ma: \( \begin{cases}n=5\\k=1 \end{cases} \)
Są jeszcze dwie pary: \((m.n)\in\{(5,6),(6,5)\}\) !
I to już wszystkie, bo jeśli najmniejszym pierwiastkiem jest \(2\), to wszystkie są dwójkami - to było już uwzględnione!

Pozdrawiam