dowód nierówności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
inter
- Często tu bywam
- Posty: 171
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
dowód nierówności
Wykaż ze dla \(a>0, b>0\) zachodzi nierówność \(\left( \frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \ge \left( \frac{a}{b}\right)^{b}\)
Ostatnio zmieniony 17 cze 2021, 21:27 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
Re: dowód nierówności
Możemy przepisać następująco:
\(
\frac{(a+1)^{b+1}}{a^b}\geq \frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}
\)
Czyli wystarczy udowodnić, że funkcja \(f: \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+\) określona wzorem \(f(x)=\frac{(x+1)^{b+1}}{x^b}\) dla pewnego \(b> 0\) osiąga swoje minimum w punkcie \(x=b\).
Funkcja jest różniczkowalna, obliczamy pochodną:
\(
f'(x)=\frac{(x+1)^b(x-b)}{x^{b+1}}
\)
i wnioskujemy, że rzeczywiście pochodna jest na przedziale \((0, b]\) malejąca, a na \([b, \infty)\) rosnąca, osiąga więc swoje minimum w punkcie \(b\).
Uwaga:
Jeśli szukamy ładniejszego dowodu, to dla \(b\geq a\) nierówność wynika natychmiast z nierówności \(\frac{a+1}{a}\geq\frac{b+1}{b}\), a dla \(a>b\) i \(b\in (0, 1]\) można udowodnić wprost z nierówności Bernoulliego (lewą stronę szacujemy z dołu przez \(1+a-b\), prawą z góry tak samo). Ale dowód Bernoulliego też korzysta z analizy matematycznej.
\(
\frac{(a+1)^{b+1}}{a^b}\geq \frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}
\)
Czyli wystarczy udowodnić, że funkcja \(f: \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+\) określona wzorem \(f(x)=\frac{(x+1)^{b+1}}{x^b}\) dla pewnego \(b> 0\) osiąga swoje minimum w punkcie \(x=b\).
Funkcja jest różniczkowalna, obliczamy pochodną:
\(
f'(x)=\frac{(x+1)^b(x-b)}{x^{b+1}}
\)
i wnioskujemy, że rzeczywiście pochodna jest na przedziale \((0, b]\) malejąca, a na \([b, \infty)\) rosnąca, osiąga więc swoje minimum w punkcie \(b\).
Uwaga:
Jeśli szukamy ładniejszego dowodu, to dla \(b\geq a\) nierówność wynika natychmiast z nierówności \(\frac{a+1}{a}\geq\frac{b+1}{b}\), a dla \(a>b\) i \(b\in (0, 1]\) można udowodnić wprost z nierówności Bernoulliego (lewą stronę szacujemy z dołu przez \(1+a-b\), prawą z góry tak samo). Ale dowód Bernoulliego też korzysta z analizy matematycznej.