forum.zadania.info

1. Punkty \(A=(5,5), B=(-2,4), C=(-1,-3)\) są wierzchołkami trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

2. Boki trójkąta \(ABC\) zawierają sie w prostych o równaniach:
\(x-y+3=0, 3x-y-7=0, x+y-1=0.\) Oblicz:
a) współrzędne wierzchołków trójkąta,
b) obwód trójkąta,
c) pole trójkąta.

jurekl pisze: ↑04 maja 2021, 11:26 1. Punkty \(A=(5,5), B=(-2,4), C=(-1,-3)\) są wierzchołkami trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

\(|AB|=\sqrt{(5+2)^2+(5-4)^2}\\
|AB|=\sqrt{50}\)

\(|AC|=\sqrt{(5+1)^2+(5+3)^2}\\
|AC|=10\)

\(|BC|=\sqrt{(-2+1)^2+(4+3)^2}\\
|BC|=\sqrt{50}\)

\(|AB|^2+|BC|^2=50+50=100=|AC|^2\)
trójkąt jest prostokątny

jurekl pisze: ↑04 maja 2021, 11:26

2. Boki trójkąta \(ABC\) zawierają sie w prostych o równaniach:
\(x-y+3=0, 3x-y-7=0, x+y-1=0.\) Oblicz:
a) współrzędne wierzchołków trójkąta,

\(\begin{cases}x-y+3=0\\3x-y-7=0\end{cases}\\
\begin{cases}y=x+3\\3x-x-3-7=0\end{cases}\\
\begin{cases}2x=10\\y=x+3\end{cases}\\
\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}\\
A=(5,8)\)

\(\begin{cases}x-y+3=0\\x+y-1=0\end{cases}\\
\begin{cases}y=x+3\\x+x+3-1=0\end{cases}\\
\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}\\
B(-1,2)\)

\(\begin{cases}3x-y-7=0\\x+y-1=0\end{cases}\\
\begin{cases}y=3x-7\\x+3x-7-1=0\end{cases}\\
\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\\
C(2,-1)\)

jurekl pisze: ↑04 maja 2021, 11:26 1. Punkty \(A=(5,5), B=(-2,4), C=(-1,-3)\) są wierzchołkami trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

2. Boki trójkąta \(ABC\) zawierają sie w prostych o równaniach:
\(x-y+3=0, 3x-y-7=0, x+y-1=0.\) Oblicz:
b) obwód trójkąta,
c) pole trójkąta.

\(|AB|=\sqrt{(5+1)^2+(8-2)^2}\\
|AB|=\sqrt{72}\\
|AB|=6\sqrt{2}\)

\(|AC|=\sqrt{(5-2)^2+(8+1)^2}\\
|AC|=\sqrt{90}\\
|AC|=3\sqrt{10}\)

\(|CB|=\sqrt{(2+1)^2+(-1-2)^2}\\
|BC|=\sqrt{18}\\
|BC|=3\sqrt{2}\)

\(L=6\sqrt{2}+3\sqrt{10}+3\sqrt{2}=9\sqrt{2}+3\sqrt{10}\)

trójkąt jest prostokątny, więc \(P=\frac{1}{2}|AB|\cdot |BC|\So P=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=18\)