forum.zadania.info

Wykaż, że dla każdego x ∈ R spełniona jest nierówność :

\( \sin^6x+ \cos ^6x \ge \frac{1}{4} \)

Szabatka pisze: ↑29 kwie 2021, 10:50 Wykaż, że dla każdego x ∈ R spełniona jest nierówność :

\( \sin^6x+ \cos ^6x \ge \frac{1}{4} \)

\(\sin^6x+\cos^6x=(\sin ^2x)^3+(\cos^2x)^3=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin ^2x\cos^2x+\cos^4x)=\\=\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x-\sin^2x\cos^2x=\\=1-3\sin^2x\cos^2x=1-3(0,5\sin 2x)^2=1-\frac{3}{4}\sin^22x\geq 1-\frac{3}{4}=0,25\)

Albo z nierówności pomiędzy średnią potęgową i arytmetyczną:
Dla \(x\in\rr\) mamy \(\begin{cases}\sin^2 x\ge0\\ \cos^2x\ge0 \end{cases} \) i
\(\sqrt[3]{{(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3\over2}}\ge{\sin^2 x+\cos^2x\over2}\) , równość zachodzi dla \(\sin^2 x=\cos^2x\)
\({\sin^6x+\cos^6x\over2}\ge\left({1\over2}\right)^3\)
\( \sin^6x+ \cos ^6x \ge \frac{1}{4}\\ CKD \)

Pozdrawiam

eresh pisze: ↑29 kwie 2021, 11:14 \(\sin^6x+\cos^6x=(\sin ^2x)^3+(\cos^2x)^3=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin ^2x\cos^2x+\cos^4x)=\\=\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x-\sin^2x\cos^2x=\\=1-3\sin^2x\cos^2x=1-3(0,5\sin 2x)^2=1-\frac{3}{4}\sin^22x\geq 1-\frac{3}{4}=0,25\)

Rozumiem zastosowanie wzoru na sumę sześcianów jednak nie wiem skąd później po tym mamy taki zapis ''\(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x\)'' czy mogłabym poprosić o wyjaśnienie w jaki sposób to uzyskano?

\(\ldots=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin ^2x\cos^2x+\cos^4x)=1\cdot(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x)=\ldots\)

Pozdrawiam