forum.zadania.info

Indukcyjnie? Przecież to szereg arytmetyczny...

Pozdrawiam

Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n.
Tak wygląda polecenie do zadania.

Sprawdzenie dla \( n = 1 \):
\( L = \sum\limits_{i=1}^{1} (2i + 1) = 3 = 3 \cdot 1^2 = P \)
Założenie:
\( \sum\limits_{i = n}^{2n - 1} (2i + 1) = 3n^2 \)
Teza:
\( \sum\limits_{i = n + 1}^{2n + 1} (2i + 1) = 3(n+1)^2 \)
Dowód:
\( L = \sum\limits_{i = n + 1}^{2n + 1} (2i + 1) = [\sum\limits_{i = n}^{2n-1}(2i+1)] - (2n + 1) + 4n+1 + 4n + 3 = 3n^2 + 6n+ 3 = 3(n+1)^2 = P \)

Jerry pisze: ↑29 kwie 2021, 10:41 Indukcyjnie? Przecież to szereg arytmetyczny...

Byłem w niedoczasie...
Zauważmy, że \(a_i=2i+1,\ i\in\zz_+,\) jest ciągiem arytmetycznym takim, że \( \begin{cases} a_1=3\\ r=2\end{cases} \). Zatem
\(S_i={2\cdot3+(i-1)\cdot2\over2}\cdot i={2i^2+4i\over2}\)
Ostatecznie:
\(\sum^{2n-1}_{i=n} (2i+1)=S_{2n-1}-S_{n-1}={2(2n-1)^2+4(2n-1)\over2}-{2(n-1)^2+4(n-1)\over2}=3n^2\)
albo, po prostu,
\(\sum^{2n-1}_{i=n} (2i+1)=\frac{(2n+1)+[2(2n-1)+1]}{2}\cdot n=3n^2\)

Pozdrawiam