forum.zadania.info

(zad 11 matura czerwiec 2017)
doprowadziłam równanie do postaci \(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\) po czym podniosłam obie strony do kwadratu i wyszedł mi niepoprawny wynik. Bardzo proszę, czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć i dać powód dla którego nie mogłam tak właśnie podnieść sobie obu stron do kwadratu?
Pozdrawiam

Podnoszenie obu stron do kwadratu jest dopuszczalne, jeśli wiadomo (lub założymy) obie strony są dodatnie.

Jeżeli równanie x=2 podniesiesz obustronnie do kwadratu, to otrzymasz \(x^2=4\), a to ma dwa rozwiązania.
W ten cudowny sposób rozmnożyłaś rozwiązania.

Jednak zauważ, że jedno z rozwiązań, które otrzymałaś powinno być poprawne - to, dla którego \(\sin x-\cos x\) jest dodatnie.
Jeśli tak nie jest, to znaczy, że jeszcze gdzieś się pomyliłaś.

Tak, jedno rzeczywiście było dodatnie. Wszystko już rozumiem, bardzo dziękuje!

sailores897 pisze: ↑28 kwie 2021, 18:33 ...doprowadziłam równanie do postaci \(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\) ...

Bez pierwiastków obcych można tak:
\(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\qquad |:\sqrt2\\
\sin x\cdot {\sqrt2\over2}−\cos x\cdot {\sqrt2\over2}= {1\over2}\\
\sin\left(x-{\pi\over4}\right)={1\over2}\)

Pozdrawiam