forum.zadania.info

Liczby rzeczywiste \(a, b, c\) są pierwiastkami wielomianu \(x^3-2x+1\). Oblicz, ile jest równe \(a^2+b^2+c^2\)

mefikx pisze: ↑26 kwie 2021, 22:10 Liczby rzeczywiste \(a, b, c\) są pierwiastkami wielomianu \(x^3-2x+1\). Oblicz, ile jest równe \(a^2+b^2+c^2\)

Skoro to pierwiastki, a stopień wielomianu to 3, wiec są to wszystkie pierwiastki i można zapisać:
\[x^3-2x+a\equiv (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc \iff\\ \iff a+b+c=0, \,\, ab+ac+bc=-2,\,\, abc=-1\]

\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) \\ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=0^2-2(-2)=4\)

Odpowiedź: \(a^2+b^2+c^2=4\)

Albo:
Ponieważ
\(w(x)=x^3-2x+1=x^3-x^2+x^2-x-x+1=(x-1)(x^2+x-1)=\\ \qquad=(x-1)\left(x-{-1-\sqrt5\over2}\right)\left(x-{-1+\sqrt5\over2}\right)\),
to
\(a^2+b^2+c^2=1^2+\left({-1-\sqrt5\over2}\right)^2+\left({-1+\sqrt5\over2}\right)^2=\ldots\)

Pozdrawiam