forum.zadania.info

Mam do wykonania 3 zadania, bardzo proszę o pomoc.
Mam wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Zadanie muszę zrobić do środy.
1) \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2\)
2) \(f(x,y)=(x+y)^2-(x+5y+xy)\)
3) \(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\)

No to do dzieła: https://www.matemaks.pl/ekstrema-lokaln ... nnych.html

Herbert pisze: ↑26 kwie 2021, 14:08 Mam do wykonania 3 zadania, bardzo proszę o pomoc.
Mam wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Zadanie muszę zrobić do środy.

3) \(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\)

Tutaj jest teoria z przykładami
Poniżej realizacja dla podpunktu 3).

\(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\\
\begin{cases} \frac{ \partial f }{ \partial x}=2x+y-6=0 \\
\frac{ \partial f}{ \partial y}=2y+x-4 =0\end{cases} \iff \begin{cases}2x+y=6\\x+2y=4 \end{cases} \iff \begin{cases} -3y=-2\\x=4-2y\end{cases} \iff \begin{cases}x= \frac{8}{3} \\y= \frac{2}{3} \end{cases} \)

Puntem, w którym może być ekstremum jest punkt stacjonarny \( \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right) \)
\( \begin{cases}\frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}=2\\ \frac{ \partial ^2f}{ \partial y^2 }=2\\ \frac{ \partial ^2f}{ \partial x \partial y } =\frac{ \partial ^2f}{ \partial y \partial x } =1 \end{cases} \So W \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)=W = \begin{vmatrix}2&1\\1&2 \end{vmatrix} = 3 \)
\(W \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)>0\), więc w punkcie \(\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)\) jest ekstremum lokalne, a ponieważ \( \frac{\partial ^2f}{ \partial x^2}\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right) =2>0 \), więc jest to minimum.
Żeby się dowiedzieć ile to minimum jest równe, obliczyć trzeba \(f\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)=- \frac{13}{3} \)

Odpowiedź: Funkcja f osiąga minimum (lokalne) w punkcie \(\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right), \,\, f_{min}(x,y)=- \frac{13}{3} \)

Myślę, że pozostałe bez problemu zrobisz samodzielnie.