.Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podaną granicę

[damian28102000]

Cześć!
Mam za zadanie obliczyć "Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podaną granicę:"

\(\Lim _{x\to \infty }\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

Wykonałem zadanie, ale wynik jest sprzeczny z tym co podaje Wolframe:

\(\Lim_{x\to \:\infty \:}\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\Lim_{x\to \:\:\infty \:\:}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(x+1\right)}\)

\(\Lim _{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(x+1\right)=\Lim_{x\to \:\infty \:}\frac{\ln\left(x+1\right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\Lim_{x\to \:\infty \:}\frac{\left(\ln\left(x+1\right)\right)'}{\left(\sqrt{x}^{-1}\right)}=\Lim _{x\to \:\infty \:}\frac{\left(\frac{1}{x+1}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}}=\\ \qquad=\Lim_{x\to \:\infty \:}\left(-\frac{2\sqrt{x^3}}{x+1}\right)'=\Lim_{x\to \:\infty \:}-\frac{\left(3\sqrt{x}\right)}{1}=-\infty \:\)

[eresh]

Cześć!
Mam za zadanie obliczyć "Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podaną granicę:"

\(\lim _{x\to \infty }\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

Wykonałem zadanie, ale wynik jest sprzeczny z tym co podaje Wolframe:

\(\lim \:_{x\to \:\infty \:}\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim \:\:_{x\to \:\:\infty \:\:}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}ln\left(x+1\right)}\)

\(\lim _{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{x}}ln\left(x+1\right)=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{ln\left(x+1\right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{\left(ln\left(x+1\right)\right)'}{\left(\sqrt{x}^{-1}\right)}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{\left(\frac{1}{x+1}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\left(-\frac{2\sqrt{x^3}}{x+1}\right)'=\lim \:_{x\to \:\infty \:}-\frac{\left(3\sqrt{x}\right)}{1}=-\infty \:\)

Ale Ty powinieneś policzyć \(\Lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(x+1\right)}\), czyli jednak dobrze wychodzi

[damian28102000]

Cześć!
Mam za zadanie obliczyć "Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podaną granicę:"

\(\lim _{x\to \infty }\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

Wykonałem zadanie, ale wynik jest sprzeczny z tym co podaje Wolframe:

\(\lim \:_{x\to \:\infty \:}\left(x+1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim \:\:_{x\to \:\:\infty \:\:}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}ln\left(x+1\right)}\)

\(\lim _{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{x}}ln\left(x+1\right)=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{ln\left(x+1\right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{\left(ln\left(x+1\right)\right)'}{\left(\sqrt{x}^{-1}\right)}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{\left(\frac{1}{x+1}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}}=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\left(-\frac{2\sqrt{x^3}}{x+1}\right)'=\lim \:_{x\to \:\infty \:}-\frac{\left(3\sqrt{x}\right)}{1}=-\infty \:\)

Ale Ty powinieneś policzyć \(\Lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(x+1\right)}\), czyli jednak dobrze wychodzi

Czegoś nie rozumiem, dla tego co podałaś wolframe, również zwraca 1, co jest wynikiem sprzecznym z moim.
Screen rozwiązania Wolframe:

[Icanseepeace]

\(\lim _{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{x}}ln\left(x+1\right)=\lim \:_{x\to \:\infty \:}\frac{ln\left(x+1\right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

Zastanów się nad tym przejściem. W szczególności nad \( \sqrt{x} \)

[eresh]

Czegoś nie rozumiem, dla tego co podałaś wolframe, również zwraca 1, co jest wynikiem sprzecznym z moim.
Screen rozwiązania Wolframe:

Pospieszyłam się
\(\Lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}\ln(x+1)}=e^{\Lim_{x\to \infty}\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}}=e^0=1\;\;\mbox{ bo}\\
\Lim_{x\to \infty}\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}=^H\Lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\Lim_{x\to \infty}\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=0\)