Strona 1 z 1
Ostrosłup
: 23 kwie 2021, 09:39
autor: Hacker000
Dany ostrosłup \(ABCDS\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\) i krawędziach bocznych długości \(c\). Kąty płaskie w wierzchołku ostrosłupa wynoszą odpowiednio \(|ASB|=|CSD|= \alpha \) i \(|BSC|=|ASD|= \beta \). Oblicz objętość tego ostrosłupa a następnie uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie \(ACS\) wynosi \(R= \frac{c}{ \sqrt{2(cos \alpha +cos \beta )} } \)
Re: Ostrosłup
: 23 kwie 2021, 10:24
autor: eresh
Hacker000 pisze: ↑23 kwie 2021, 09:39
Dany ostrosłup
\(ABCDS\) o podstawie prostokątnej
\(ABCD\) i krawędziach bocznych długości
\(c\). Kąty płaskie w wierzchołku ostrosłupa wynoszą odpowiednio
\(|ASB|=|CSD|= \alpha \) i
\(|BSC|=|ASD|= \beta \). Oblicz objętość tego ostrosłupa a następnie uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie
\(ACS\) wynosi
\(R= \frac{c}{ \sqrt{2(cos \alpha +cos \beta )} } \)
a, b - krawędzie podstawy
d - przekątna podstawy
\(a^2=c^2+c^2-2c^2\cos \alpha\\
a^2=2c^2(1-\cos \alpha)\\
a=c\sqrt{2-2\cos\alpha}\\
b=c\sqrt{2-2\cos\beta}\\
d^2=a^2+b^2\\
d^2=2c^2(1-\cos\alpha)+2c^2(1-\cos\beta)\\
d^2=2c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H^2+(0,5d)^2=c^2\\
H^2=c^2-0,25\cdot 2c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H^2=c^2-0,5c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H=c\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}\\
V=\frac{1}{3}abH\)
O - spodek wysokości
w trójkącie SOC:
\(\sin\angle SCO=\frac{H}{c}=\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}\\\)
z tw. sinusów w ACS
\(\frac{c}{\sin\angle SCO}=2R\\
R=\frac{c}{2\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}}\\
R=\frac{c}{\sqrt{2}\sqrt{\cos\alpha+\cos\beta}}\)