forum.zadania.info

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak znaleźć wzór przekształcenia \(F\) , które jest liniowe i odwracalne (izomorfizm)
z przestrzeni \(\rr^3, F: \rr^3 \to \rr^3\) i \(F\) spełnia warunki:
\(F(e_1) = 2e_1 + e_2 - e_3\\
F(e_2) = e_1 - e_2\\
F^{-1}(e_3) = e_1 - e_2
\)
gdzie \(e_1,e_2,e_3\) to wektory z bazy kanonicznej \(\rr^3\)

isiasiea pisze: ↑22 kwie 2021, 11:11 Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak znaleźć wzór przekształcenia F , które
jest liniowe i odwracalne (izomorfizm) z przestrzeni \(R^3, F: R^3 -> R^3\) i F spełnia warunki:
\(F(e_1) = 2e_1 + e_2 - e_3\\
F(e_2) = e_1 - e_2\\
F^{-1}(e_3) = e_1 - e_2
\)
gdzie \(e_1,e_2,e_3\) to wektory z bazy kanonicznej \(R^3\)

Coś jest nie tak.
Niech A będzie macierzą przekształcenia F. Wtedy \(A= \begin{bmatrix}2&1&a\\1&-1&b\\-1&0&c \end{bmatrix} \).
Ponieważ F jest odwracalne, więc \(\det(A)\neq0 \iff a+b+3c\neq0\)

\(F^{-1}(e_3)=F^{-1}(0,0,1)=e_1-e_2=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,0)\\
F^{-1}(0,0,1)=(1,-1,0) \So F(1,-1,0)=(0,0,1)\),
ale \(F(1,-1,0)=\begin{bmatrix}2&1&a\\1&-1&b\\-1&0&c \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1\\-1\\0 \end{bmatrix}=(1,2,-1)\neq (0,0,1) \) niezależnie od wartości a, b, c.

Wniosek: nie ma takiego przekształcenia. Sprawdź, czy wszystko jest dobrze przepisane.

Faktycznie, źle przepisałam powinno być \(F^{-1}(e_3) = e_1 - e_3\)
Dziękuję za odpowiedź, wiele mi rozjaśniła