forum.zadania.info

Cześć,
mam zadanko z matury z nowej ery 2020.
Czworokąt \(ABCD\) jest opisany na okręgu oraz \(AB=12\), \(AD=10\), \(|\angle BAD| = 60^\circ\), \(|\angle BCD| = 120^\circ\). Oblicz długości boków \(BD\) i \(CD\) tego czworokąta.

Mój pomysł, na 99% błędny to aby przy każdym ramieniu suma kątów była równa 180*. Wtedy jest to trapez równoramienny o ramieniu 10cm i dłuższej podstawie 12cm. 2 ramiona = 2 podstawy czyli 2*10 = 12+krótsza podstawa -> krótsza podstawa = 8cm

Jakim ramieniu?
Oznaczę \( |BC| = x \) oraz \( |BD| = y \)
Wtedy z własności czworokąta opisanego na okręgu mamy
\( x + 10 = y + 12\)
Ponad zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD daje;
\( |BD|^2 = 10^2 + 12^2 - 2\cdot10\cdot12\cdot\cos (60^o) \)
oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCD daje:
\( |BD|^2 = x^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot y \cdot \cos(60^o) \)
Po przyrównaniu do siebie wartości \( |BD| \) dostaniesz drugie równanie.
Wystarczy rozwiązać układ równań.