Strona 1 z 1
Granica
: 19 kwie 2021, 04:28
autor: damian28102000
Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\Lim_{x\to \:0}\frac{\left(\sin^2x\right)}{1-\cos x}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za \(\cos x\), podstawić \(1-2\sin^2\frac{x}{2}\).
Re: Granica
: 19 kwie 2021, 06:44
autor: radagast
damian28102000 pisze: ↑19 kwie 2021, 04:28
Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\lim \:_{x\to \:0}\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za
\(cosx\), podstawić
\(1-2sin^2\frac{x}{2}\).
\( \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}=\Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-1+2\sin^2 \frac{x}{2} }= \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(\sin^2x\right)}{2\sin^2 \frac{x}{2} }= \frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2=\frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \right)^2= \frac{1}{2} \cdot 4=2 \)
ale zdecydowanie rozsądniej jest liczyć "zmieniając licznik"
Re: Granica
: 19 kwie 2021, 07:00
autor: damian28102000
radagast pisze: ↑19 kwie 2021, 06:44
damian28102000 pisze: ↑19 kwie 2021, 04:28
Cześć!
Prosiłbym o wykonanie granicy:
\(\lim \:_{x\to \:0}\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}\)
Jednakże, zależy mi aby obliczyć nie zmieniając licznika (wiem absurd!), ale tak mi wyszedł poprawny wynik (czyli 2).
Przy próbie obliczenia "za pomocą mianownika" ciągle wychodzą mi bzdury - próbuję za
\(cosx\), podstawić
\(1-2sin^2\frac{x}{2}\).
\( \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-cosx}=\Lim_{x\to 0 }\frac{\left(sin^2x\right)}{1-1+2\sin^2 \frac{x}{2} }= \Lim_{x\to 0 }\frac{\left(\sin^2x\right)}{2\sin^2 \frac{x}{2} }= \frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2=\frac{1}{2} \Lim_{x\to 0 }\left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \right)^2= \frac{1}{2} \cdot 4=2 \)
ale zdecydowanie rozsądniej jest liczyć "zmieniając licznik"
Dziękuję, podzieliłabyś się jeszcze skąd wzięłaś
\(\frac{1}{2}\)?
\(\frac{\sin x}{x} \) wypluwa 1
\(\frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}}\) po podzieleniu przez
\(\frac{x}{2}\) również wypluwa jeden
Re: Granica
: 19 kwie 2021, 08:36
autor: radagast
\( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} \sin x}{\sin \frac{x}{2}} =\frac{2 \cdot \frac{\sin x}{x} }{ \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} } =
\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \)
Re: Granica
: 19 kwie 2021, 10:53
autor: Jerry
Albo, skoro ma być dziwnie, wg mnie - najdziwniej:
\(\Lim_{x\to \:0}\frac{\left(\sin^2x\right)}{1-\cos x}=\left[{0\over0}\right]\nad{\text{H}}{=}\Lim_{x\to0}{2\sin x\cos x\over0-(-\sin x)}=\Lim_{x\to0}2\cos x=2\cdot1=2\)
Pozdrawiam