forum.zadania.info

W trójkącie jeden z kątów spełnia warunek
\(\Limn (\cos a + \cos^2a + ... + \cos^n a) = \Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})}\)
Jaką miarę ma ten kąt?
A. \( \frac{\Pi }{4} \) B. \( \frac{\Pi }{3} \) C. \( \frac{\Pi }{6} \) D. \( \frac{2 \Pi }{3} \)

Ponieważ
\(\Limn (\cos a + \cos^2a + ... + \cos^n a) = \Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})}\iff\\ \qquad\iff ({\cos\alpha\over1-\cos\alpha}=1\wedge\cos\alpha\in(-1;1)\ )\)
to
\( \cos\alpha={1\over2}\)
i
B. \( \frac{\pi }{3} \)

Pozdrawiam

\(\Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})} = \Limn \frac{\sqrt{4-\frac{2}{n}+\frac{\sqrt{3}}{n^2}}-(1-\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}{1-\frac{\sqrt{2}}{n}} = 1\)


Z sumy ciągu geometrycznego
\(\sum_{n=1}^{n}( \cos a)^n = \cos a \frac{1 - \cos^n a}{1-\cos a}\)

Po wyciągnięciu granicy otrzymujemy:

\( \frac{\cos a}{1-\cos a} = 1\)

\(a = \frac{\pi}{3}\)