Zadanie uzasadnij
: 15 kwie 2021, 09:50
Uzasadnij że, równanie \(\frac{x^3}{x+1} - 2 = 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zacznijmy od tego, że wyrażenie p\(\frac{x^3}{x+1}\) nie ma sensu dla \(x = -1\), wobec czego jeśli w toku dalszych rozważań uzyskamy takie rozwiązanie, będziemy musieli je odrzucić.
Wymnóżmy obustronnie razy \(x+1\).
\(x^3 - 2x -2 = 0\)
Niech \(f(x) = x^3 - 2x -2\)
\(f'(x) = 3x^2 - 2\)
A zatem miejsca zerowe pochodnej to:
\(\lbrace -\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\rbrace \)
Po przeprowadzeniu analizy znaków pochodnej i tym samym przebiegu zmienności funkcji uzyskujemy, że w punkcie \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\) funkcja osiąga lokalne maksimum, po czym maleje i osiąga lokalne minimum w \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), za tą granicą rosnąc już do nieskończoności.
\(f(-\sqrt{\frac{2}{3}}) = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} + 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 2 = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}-2 < \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} < 0\).
A zatem Funkcja rośnie, aż osiąga ujemne maksimum lokalne, potem maleje do minimum lokalnego, a potem rośnie do nieskończoności, z pewnością osiągając miejsce zerowe. Ponadto, wiedząc, że minimum jest osiągane dla argumentu dodatniego, wiemy, że tym miejscem zerowym nie jest \(-1\).