forum.zadania.info

Sprawdzić że odwzorowanie \( \delta \):\(C^* \to C^*\) dane wzorem\( \delta (z) = z^5\) jest homomorfizmem grup. ( wyszło mi że jest homomorfizmem). Trzeba znaleźć jego jądro i obraz. \(C^*\) to liczby zespolone różne od 0

Proszę wybaczyć niedoinformowanie, ale nie wiem, co to \(C^*\)

Niech
\(z^5 = 1 = \cos 0 + i \sin 0 \)

Wówczas:

\(z = \cos 0 + i \sin 0 \vee z = \cos \frac{2\pi}{5}+ i\sin \frac{2\pi}{5} \vee z = \cos \frac{4\pi}{5}+ i\sin \frac{4\pi}{5}\vee z = \cos \frac{6\pi}{5}+ i\sin \frac{6\pi}{5} \vee z = \cos \frac{8\pi}{5}+ i\sin \frac{8\pi}{5} \)

Zbiór tych wyników to twoje jądro.

Niech \(z = a(\cos \phi + i \sin \phi)\) mamy \(z' = \sqrt[5]{a}(\cos \frac{\phi}{5} + i \sin \frac{\phi}{5} )\) i wówczas \((z')^5 = z\) więc obrazem jest cały zbiór \(\cc^*\)