forum.zadania.info

Dana jest funkcja f określona wzorem \(f(x)=x^3+2\) i \(x \in \rr \). Wyznacz punkt \(P\) należący do wykresu tej funkcji, którego odległość od punktu \(A=(4,2)\) jest najmniejsza.
Doszedłem do tego momentu:
\(P(x_0,x_0^3+2)\)
\(|AP|= \sqrt{(x_0-4)^2+x_0^6}= \sqrt{x_0^6+x_0^2-8x_0+16} \)
\(g(x)=x_0^6+x_0^2-8x_0+16\)
\(g'(x_0)=6x_0^5+2x_0-8\)
\(g'(x_0)=(x_0-1)(6x^4+6x^3+6x^2+6x+8)\)
Sprawdziłem w Geogebrze i wiem, że pochodna funkcji g(x) ma jedno miejsce zerowe x=1. Natomiast muszę w zadaniu to udowodnić.
Czy wystarczy, że pokażę, że pochodna jest funkcją rosnącą w ten sposób?:
\([g'(x)]'=30x^5_0+2\)
Pochodna funkcji g'(x) jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem posiada tylko jedno miejsce zerowe \(x_0=1\)

Czy takie wyjaśnienie jest wystarczające?
Z góry bardzo dziękuję za poświęcony czas !

gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 15:58 \([g'(x)]'=30x^5_0+2\)
Pochodna funkcji g'(x) jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem posiada tylko jedno miejsce zerowe \(x_0=1\)

(raczej : \([g'(x)]'=30x^5+2\) )
Owszem to prawda.
Niestety nie wiem jak ocenią to egzaminatorzy. Teoretycznie nie powinni mieć zastrzeżeń, ale...

alternatywa:
\(6x^4+6x^3+6x^2+6x+8=3x^6+3x^2(x^2+1)^2+3(x+1)^2+5\)

Dziękuję pięknie !

gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 15:58 \(g(x)=x_0^6+x_0^2-8x_0+16\)

Chyba \( g(x_0) = x_0^6+x_0^2-8x_0+16 \).

gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 15:58 Czy wystarczy, że pokażę, że pochodna jest funkcją rosnącą w ten sposób?:
\([g'(x)]'=30x^5_0+2\)
Pochodna funkcji g'(x) jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem posiada tylko jedno miejsce zerowe \(x_0=1\)

Możesz śmiało pisać g''( x_0 ). Ponadto tutaj przyda się więcej słów wyjaśnienia.
Ponieważ druga pochodna funkcji g jest ściśle dodatnia (tak masz błąd albo przy przepisywaniu albo przy liczeniu) to oznacza, że funkcja g' jest funkcją ściśle rosnącą, dlatego może mieć tylko jedno miejsce zerowe.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Rozwiązanie bez liczenia drugiej pochodnej:
\( 6x4+6x3+6x2+6x+8 = 6(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) + 2 = 6[ (x^2 + \frac{1}{2} x)^2 + (\frac{1}{2} x + 1)^2 + \frac{1}{2}x^2] + 2 \)

Icanseepeace pisze: ↑11 kwie 2021, 16:16

gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 15:58 \(g(x)=x_0^6+x_0^2-8x_0+16\)

Chyba \( g(x_0) = x_0^6+x_0^2-8x_0+16 \).

gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 15:58 Czy wystarczy, że pokażę, że pochodna jest funkcją rosnącą w ten sposób?:
\([g'(x)]'=30x^5_0+2\)
Pochodna funkcji g'(x) jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem posiada tylko jedno miejsce zerowe \(x_0=1\)

Możesz śmiało pisać g''( x_0 ). Ponadto tutaj przyda się więcej słów wyjaśnienia.
Ponieważ druga pochodna funkcji g jest ściśle dodatnia (tak masz błąd albo przy przepisywaniu albo przy liczeniu) to oznacza, że funkcja g' jest funkcją ściśle rosnącą, dlatego może mieć tylko jedno miejsce zerowe.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Rozwiązanie bez liczenia drugiej pochodnej:
\( 6x4+6x3+6x2+6x+8 = 6(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) + 2 = 6[ (x^2 + \frac{1}{2} x)^2 + (\frac{1}{2} x + 1)^2 + \frac{1}{2}x^2] + 2 \)

Dziękuję bardzo !

Już kiedyś, przy innej okazji, sugerowałem Ci przeszukiwanie rodziny normalnych...
Wykorzystanie w podobnym zadaniu

Pozdrawiam