forum.zadania.info

Obliczyć pole elipsy, której brzeg dany jest równaniem \(\frac{x^2 }{a^2 } + \frac{y^2 }{b^2 } =1 \)

Zakładając iż \(a,b>0\) to
\(P=4\int _0^a b \sqrt{1- \frac{x^2}{a^2} }dx=... \)

Tu wygodnie przejść na współrzędne eliptyczne:
\(x=ra\cos \alpha \ \ , \ \ y=rb\sin \alpha \ \ , \ \ J=abr\)
więc:
\(P=\int _0^{2\pi}(\int_0^1 abr dr)d \alpha=2\pi ab \)