forum.zadania.info

Zbadać zbieżność następujących szeregów:
3.53 \(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\right)\)
3.62 \(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\right)\)
3.68 \(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{\sin \left(n\alpha \right)}{\left(\ln \:\left(10\right)\right)^n}\right)\)

3.53\(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\right)\)
Stosujemy kryterium porównawcze w postaci granicznej. Przyjmujemy:
\( a_n = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\) oraz \( b_n = \frac{1}{n} \)
i badamy granicę:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}{\frac{1}{n}}
= \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = 1 \)
Poniewaz wyszła liczba skończona to szeregi: \(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\right)\) oraz \(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\) są jednocześnie albo zbieżne albo rozbieżne. Wiemy, że szereg \(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\) jest rozbieżny jako harmoniczny rzędu \( \alpha = 1 \), więc szereg \(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\right)\) jest również rozbieżny.
3.62\(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\right)\)
Czy przypadkiem wyraz \( a_n \) nie powinien wyglądać następująco: \( \frac{1}{n(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} \)?
3.68\(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{\sin \left(n\alpha \right)}{\left(\ln \:\left(10\right)\right)^n}\right)\)
Oznaczmy \( a_n = \frac{ \sin(n\alpha)}{(\log(10))^n} \).
Ponieważ:
\( e < 3 \So e^2 < 3^2 = 9 < 10 \So 2 < ln(10) \)
To badając zbieżność bezwzględną szeregu otrzymujemy:
\( |a_n| = |\frac{ \sin(n\alpha)}{(\log(10))^n}| < \frac{|\sin(n\alpha)|}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} \)
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \) to z kryterium porównawczego dostajemy, że szereg \(\sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{\sin \left(n\alpha \right)}{\left(\ln \:\left(10\right)\right)^n}\right)\) jest zbieżny bezwzględnie.

3.62 powinno wyglądać jak podałeś. Błąd przy przepisywaniu

3.62 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\right) \)
\( a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n} > \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n}}{n} = \frac{2}{\sqrt{n}} \)
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} \) jest szeregiem rozbieżnym jako szereg harmoniczny rzędu \( \alpha = \frac{1}{2} \) to z kryterium porównawczego wynika rozbieżność szeregu \( \sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\right) \)