forum.zadania.info

Korzystając z zasady indukcji udowodnij poniższe nierówności dla \(n \in N\) :
\(n^{n+1}>(n+1)^n \;\; (n\geq 3)\)

Bardzo proszę o pomoc.

\( (n+1)^n < n^{n+1} \) dla \( n \geq 3 \)
Sprawdzenie dla n=3: \( 4^3 = 64 < 81 = 3^4 \)
Założenie: \( (n+1)^n < n^{n+1} \)
Teza: \( (n+2)^{n+1} < (n+1)^{n+2} \)
Dowód:
\( L = (n+2)^{n+1} = (n^2 + 2n)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}
< (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}
< (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)^n} = \)
\( = (n+1)^{2n + 2 - n} = (n+1)^{n+2} = P \)

Dlaczego \(n^{n+1}\) można zamienić na \((n+1)^n\)?

Pyra pisze: ↑07 kwie 2021, 13:13 Dlaczego n^(n+1) można zamienić na (n+1)^n?

Z założenia indukcyjnego!

Pozdrawiam

O kurde, rzeczywiście. Dziękuję bardzo